安徽省“皖中联考”2023-2024学年高二上学期期中质检数学试题

“皖中联考”2023—2024学年高二（上学期）期中质检 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2 已知向量，若，则（ ） A. B. C D. 3. 已知分别为椭圆的左､右顶点，点在上，若是一内角为的等腰三角形，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 关于圆有四个命题：①点在圆内；②点在圆上；③圆心为；④圆的半径为3.若只有一个假命题，则该命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 点到直线的最大距离为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架是边长为2的正方形，两等腰三角形框架的腰长均为，框架所在的平面，，活动弹子分别在上移动，之间用有弹性的细线连接，且始终成立，则当的长度取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 8. 若圆与圆相切，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知、、，则（ ） A. 直线的方程为 B. 点到直线的距离为 C. 为等腰直角三角形 D. 的面积为 10. 已知曲线为椭圆，则（ ） A. B. 若的焦点在轴上，则的焦距为 C. 若的焦点在轴上，则的短轴长取值范围为 D. 若的焦点在轴上，则的离心率为 11. 已知圆内有一点，过点的直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，且相交于点，则（ ） A. 当在两坐标轴上截距相等时，的方程为或 B. 点的轨迹方程为 C. 当时，点的坐标为或 D. 当时，直线的方程为或 12. 已知正四棱柱的底面边长为，点分别满足.甲､乙､丙､丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当时，存在，使得； 乙：当时，存在，，使得； 丙：当时，满足的的关系为； 丁：当时，满足的点围成区域的面积为. 其中得出错误结论的同学有（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 小明研究一张坐标纸中四点的关系时，发现直线与的方向向量互相垂直，则__________. 14. 两平行直线与之间的距离为__________. 15. 如图，三棱柱所有棱长均相等，，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 16. 已知分别为椭圆的左､右焦点，过椭圆C在轴上的点A与的直线与交于点，且不在线段上，，，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知的边上的高所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为为边的中点. （1）求边所在的直线方程； （2）求点的坐标. 18. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，. （1）证明：四点共面； （2）求点到平面的距离. 19. 如图，直三棱柱的底面为等边三角形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 20. 在一公园内有一如图所示的绿化空地，为两条甬路（宽度忽略不计，均视作直线），在点处建一个八角亭，点到直线的距离为，到直线的距离为，过再修一条直线型的甬路（宽度忽略不计），与直线分别交于两点，其中，现建立如图所示的平面直角坐标系，请解决下面问题： （1）求之间两路长； （2）在内部选一点，建一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以喷头为圆心的圆形，喷洒的水不能喷到的外面，求喷洒区域的最大面积，并求此时圆的方程. 21. 如图，在菱形中，分别为的中点，将沿折起，使点到点的位置，. （1）证明：平面平面； （2）若为线段上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 22. 已知椭圆经过两点. （1）求方程； （2）设为的上顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在点的下方，点在线段上，若，证明：. “皖中联考”2023—2024学年高二（上学期）期中质检 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【