专题2-12 抛物线解答题十一大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题2-12抛物线解答题十一大题型汇总 题型1弦长问题 1 题型2中点弦问题 2 题型3直线方程问题 4 题型4面积问题 6 题型5取值范围问题 7 题型6最值问题 10 题型7定点问题 12 题型8定值问题 14 题型9定直线问题 16 题型10向量问题 18 题型11探索性问题 19 题型1弦长问题 【方法总结】 弦长计算方法： （1）由已知条件，应用点斜式写出过焦点的直线方程，联立抛物线方程得，根据抛物线的定义有，求弦长； （2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式求弦长. 【例题1】（21·22上·攀枝花·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求弦长． 【变式1-1】1. （22·23上·南岸·期末）已知点，直线：，平面内存在点，使得点到点M的距离比到直线的距离小1. (1)求点的轨迹方程C. (2)已知直线：，求被曲线C截得的弦长. 【变式1-1】2.（21·22上·北京·期末）已知抛物线的准线方程是，直线与抛物线相交于M、N两点． (1)求抛物线的方程； (2)求弦长； (3)设O为坐标原点，证明：． 【变式1-1】3. （20·21上·福州·期中）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点． （1）若直线的倾斜角为，求的值； （2）若以线段为直径的圆截轴所得到的弦长为6，求此圆的半径． 【变式1-1】4. （20·21上·沙坪坝·期中）已知点，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点N在直线PQ上，且满足，． （1）当P点在y轴上移动时，求动点N的轨迹C的方程； （2）过点作一直线交曲线C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是面积的2倍，求弦长． 【变式1-1】5.（20·21上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足关系式. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作一直线交于两点，若的面积是的面积的倍，求弦长. 题型2中点弦问题 【方法总结】 （1）求二次曲线的标准方程的方法有：待定系数法、定义法、直接法、代入法、参数方程法； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. （3）针对中点弦这一特殊问题的专用方法——点差法. 【例题2】（23·24上·汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【变式2-1】1. （22·23上·贵港·期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率. 【变式2-1】2. （23·24上·全国·课时练习）已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线l于P，Q两点. (1)若F在线段上，R是的中点，与平行吗？ (2)若的面积是的2倍，求中点的轨迹方程. 【变式2-1】3. （22·23下·呼伦贝尔·阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 【变式2-1】4. （22·23下·安康·期末）已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2. (1)求p和m； (2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标. 题型3直线方程问题 【方法总结】 有关直线与抛物线的问题，解题方法如下： （1）根据题意，列出等量关系式求得的值，得到抛物线的方程，利用点在抛物线上点的坐标满足抛物线方程，求得的值； （2）根据题意，设出点的坐标，根据重心坐标公式，列出等量关系式，根据点在抛物线上，点的坐标满足抛物线方程，联立求得点的坐标，进而求得直线方程. 【例题3】（22·23上·眉山·期中）如图，点，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重心，为的中点. (1)求抛物线的方程和点的坐标； (2)求点的坐标及所在的直线方程. 【变式3-1】1. （20·21上·绍兴·期末）已知三角形内接于抛物线，抛物线的焦点为F，三角形顶点到抛物线C准线的距离为10． （1）求的值． （2）若的重心恰是抛物线的焦点F，求所在的直线方程． 【变式3-1】2. （20·21上·沈阳·期末）已知点M到点的距离与它到直线的距离相等 （1）求点M的轨迹方程； （2）求过点与点M的轨迹只有一个公共点的直线方程. 【变式3-1】3. （18·19下·衡阳·阶段练习）已知抛物线上一点的纵坐标为4，且点到焦点的距离为5. （1）求抛物线的方程 （2）已知两直线分别经过点和，与抛物线交于两点，与抛物线在第一象限相切于点，且的面积为，求的直线方程 【变式3-1】4. （18