4.5.1函数的零点与方程的解 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5 函数的应用（二） 4.5.1 函数的零点与方程的解 中外历史上的方程求解 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求解方法. 中外历史上的方程求解 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法. 中外历史上的方程求解 国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求解方法。 由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数y=f(x)的零点。 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？ 导入 活动1：观察下表，求出一元二次方程的实数根，画出相应二次函数的简图，并写出函数图象与轴交点的坐标. 方程 函数 函数 图象 (简图) 方程的实数根 无实数根 图象与轴的交点 , 无交点 导入 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以 方程有实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点 注：零点不是点，是一个实数. 新课讲授 辨析1：判断正误. (1)函数的零点是一个点. ( ) (2)任何函数都有零点. ( ) (3)函数的零点是 ( ) (4)函数的零点不是点，它是函数的图象与轴交点的横坐标，是方程的根. ( ) 答案：×，×，×，√. 新课讲授 题型一：列方程求函数的零点 例1.函数的零点是（ ）. 答案：因为时， 所以函数的零点是1.故选A. 例题讲解 变1：求函数f（x）=lg(x-1)的零点 求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 例2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 B [解析]　函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点， 即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根， 所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1. 题型二：二次函数零点问题 例题讲解 变2：二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有_____个零点． 2 [解析]　令ax2＋bx＋c＝0，Δ＝b2－4ac， ∵a·c<0，∴b2－4ac>0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等实根， ∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a·c<0)有2个零点． 例题讲解 题型三：用图像解决零点问题 变3.已知函数的零点个数为3，则_______. 解：令函数，可得，由于函数的零点个数为3，故函数的图象和直线有三个交点，如图所示.由图可知 例题讲解 由此可知，求方程的实数解，就是确定函数的零点.一般地，对于不能用公式求解的方程，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解. 下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手. 探索新知 探究：对于二次函数,观察它的图象，发现它在区间上有零点.这时，函数图象与轴有什么关系？在区间上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数的取值来刻画这种关系？ 探索新知 探究：再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与轴的关系，并探究用的取值来刻画这种关系的方法. 探索新知 可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”轴.函数在端点和的取值异号，即，函数在区间内有零点，它是方程的一个根.同样地，，函数在内有零点，它是方程的一个根. 探索新知 一般地，我们有： 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就