3.2.2 双曲线的简单几何性质第一课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 1 2.双曲线的标准方程 1.双曲线的定义: 平面上到两个定点F1、 F2的距离之差的绝对值为常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫作双曲线． 两个定点F1 、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距． | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|） 双曲线的标准方程的特点： 知识回顾 2 2.双曲线的标准方程 焦点在坐标轴上，且关于原点对称的双曲线的标准方程为： 双曲线的标准方程的特点： （1）左边是两个分式的平方差，右边是1； （2）三个参数a、b、c满足 c²=a²＋ b²； （3）系数为正的项的分母是a² ，系数为负的项的分母就是 b²； （4）x2与y2哪一个系数是正的，则焦点就在哪一个轴上． 焦点在x轴上： 焦点在y轴上： 3 类比对椭圆几何性质的研究方法，你认为应该双曲线 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 思考： 下面，我们通过对双曲线标准方程 的研究，来认识双曲线的一些简单几何性质． 新知探索 双曲线的简单几何性质 5 1.范围 这说明双曲线两支分别位于直线 x = －a 的左侧与直线x = a 的右侧，向左右两边无限延伸． 由双曲线的标准方程 可知，双曲线上任意一点的坐标(x，y)都适合不等式： 双曲线的简单几何性质 6 总之，双曲线 处于两条相交直线 所围成的、包含轴 在内的那两个区域中，并且在直线 x = －a ，x = a 所围成区域的外侧． 我们还可以更精确地描述双曲线分布的范围．双曲线的任意一点的 坐标(x，y)都满足条件： 双曲线的简单几何性质 7 2.对称性 在双曲线的标准方程中，将(x，y)分别替换成(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)，方程都不变，可见双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的． 因此，双曲线有两条对称轴，即x轴和y轴；有一个对称中心，即原点，双曲线的对称中心称为双曲线的中心． 双曲线的简单几何性质 8 3.顶点 在双曲线的标准方程 中，令y = 0，得 x = ±a；可见该双曲线与对称轴x轴有两个交点A1(－a，0)，A2(a，0)，都称为双曲线的顶点． 令x = 0，得y2 = －b2，这个方程没有实数解，可见该双曲线与它的另一条对称轴y轴没有交点．但我们也把B1(0，－b)，B2(0，b)画出来． 线段A1A2，B1B2分别叫作双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为2a和2b． 双曲线的中心O分别将实轴、虚轴等分，a和b分别叫作实半轴长和虚半轴长． 实轴与虚轴等长的双曲线，称为等轴双曲线． 双曲线的简单几何性质 9 在双曲线的标准方程 中，令x = 0，得 y = ±a；可见该双曲线与对称轴y轴有两个交点A1(0，－a)，A2(0，a)，都称为双曲线的顶点． 令y = 0，得x2 = －b2，这个方程没有实数解，可见该双曲线与它的另一条对称轴x轴没有交点．但我们也把B1(－b，0)，B2(b，0)画出来． 线段A1A2，B1B2分别叫作双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为2a和2b． 双曲线的中心O分别将实轴、虚轴等分，a和b分别叫作实半轴长和虚半轴长． 双曲线的简单几何性质 10 4.渐近线 双曲线 处于两条相交直线 所围成的、包含轴在内的那两个区域中．从图象上看，双曲线的两支向两端无限延伸，越来越接近于这两个区域的边界直线 ． 下面，我们通过方程来研究双曲线接近这两条直线的程度． 在双曲线方程 中，将x当作已知数，解出： 双曲线的简单几何性质 11 我们先取双曲线在第一象限内的部分进行考察，并研究这一部分向右上方接近于直线 的程度． 为此，对同样的横坐标x，计算出直线 与与双曲线 上的点的纵坐标之差： 随着x的无限增