上海市进才中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

上海市进才中学 2023学年高二第一学期数学期中考试 一、填空题：（本大题共 12 题，满分 42 分，第 1-6 题每题 3 分，第 7-12 题每题 4 分） 1、如图，△�'�'�'是水平放置的△OAB的斜二测直观图,若 �'�' = 3, ��' = 4,则△OAB 的面积为 . 2. 如图,平面α∥平面β, △PAB所在的平面与α,β分别交于 CD和 AB, 若 �� = 2, CA=3, CD=1, 则 AB = . 3. 若直线 a∩平面α=A，直线 b⊂平面α，则直线 a与直线 b的位置关系为 . 4. 已知三点 A(a,2), B(5,1), C(-4,2a)在同一直线上, 则 a的值为 . 5. 已知圆锥的体积为 3 3  ，母线与底面所成角为 3  ，则该圆锥的侧面积为 . 6. 如图，已知长方体 的体积是 120,E为 CC₁的中点,则三棱锥 E-BCD的 体积是__________. 7. 以下说法错误的是_____________. ①空间中三点确定一个平面； ②一条直线及一个点确定一个平面 ③两条直线确定一个平面； ④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等. 8. 已知 A、B、C为球 O的球面上的三个点,圆 O₁为△ABC的外接圆, 若 O₁的面积为 4π,A B=BC=AC=OO₁,则球 O的表面积为___________. 9. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为 10 公里，母线长为 40 公里， B母线 SA一点，且 AB=10 公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从 A绕山一周到 B 的观光铁路，则这段铁路的长度为__________公里. 1 1 1 1ABCD A BC D 10. 如图，在正三棱柱 中, AB = AA₁, M, N分别是 BB₁和 B₁C₁的中点,则直线 AM与 CN所成的角 . 11.已知正四面体 A-BCD，O是底面 BCD的中心，以 OA为旋转轴，将正四面体旋转 180° 后，与原四面体的公共部分的体积为 3 2 2 ,则正四面体 A-BCD外接球的体积为 . 12.空间给定不共面的 A、B、C、D四个点,其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如 下性质的平面α: A、B、C、D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到 α的距离的 2 倍，这样的平面α的个数是 . 二. 选择题(本大题共 4 题，满分 16 分，每题 4分) 13.已知 m、n为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列条件能推出α∥β的是( ) A. m⊥α, m⊥β B.α⊥γ,β⊥γ C. m⊂α, n⊂β, m∥n D. m⊂α, n⊂α, m∥β, n∥β 14.如图所示,平面四边形ABCD中, AB=AD,AB⊥AD,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面 体 A-BCD，使平面 ABD⊥平面 BCD，则下列说法中正确的是 ( ) ①平面 ACD⊥平面 ABD;②AB⊥AC;③平面 ABC⊥平面 ACD. A. ①② B.②③ C.①③ D.①②③ 15.如图，半球内有一内接正四棱锥 S-ABCD，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且 体积为 16 3 ，那么这个半球的表面积为 ( ) 1 1 1ABC A B C .8A  .12B  16. 3 C .16D  16. 在正方体 中,M N Q、 、 分别是棱 1 1 1 1DC AD BC、 、 的中点, 点 P在 1BD 上且 1 2 3 BP BD .则以下四个说法： ①MN //平面 APC; ②C₁Q∥平面 APC; ③A、M、P三点共线; ④平面 MNO//平面 APC. 其中说法正确的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题(本大题共 5 题, 满分 42 分) 17.(每问 3 分，共计 6 分) 设直线 l的方程为 ( 1) 2 0( )a x y a a R      (1)求证：不论 a为何值，直线必过定点 M； (2)若 l在两坐标轴上的截距相等，求直线 l的方程. 18. (每问4分,共计8分) 如图, 几何体 EF-ABCD中, CDEF为边长为2的正方形, ABCD为直角梯形, AB∥CD, AD⊥DC, AD=2, AB=4, ∠ADF=90°. (1) 求证: AC⊥平面 FBC; (2) 求几何体 EF-ABCD的体积. 1 1 1 1ABCD A BC D 19. (第一问 3分,第二问 5 分,共计 8分)如图 1,在平面四边形 PDCB中, PD//BC,BA⊥AD, PA=AB=BC=1,AD= 1 2 ，将△PAB沿 BA翻折到△SAB的位置，使得平面 SAB⊥平