数列求和问题课件-2024届高三数学一轮复习

数列求和问题 清水中学 数列问题一直是高考数学的重要内容,也是学习高等数学的基础。在高考中占有重要地位。数列求和是数列问题的重要内容之一,除了等差数列,等比数列这两个特殊数列外,还有一些数列求和问题需要一些方法和技巧来解决,如裂项相消,错位相减等求和方法。 1.特殊数列的求和公式: 分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减. 并项求和法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法。 裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求。 2.另几种数列求和的几种常用方法 例1:已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和. 解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n. 当n=1时,a1=S1=1满足an=n, 故数列{an}的通项公式为an=n. (2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n,则 T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n). 记A=21+22+…+22n, B=-1+2-3+4-…+2n, 则A==22n+1-2, B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n. 故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2. 分组求和法: (1)若an=bn cn,且{bn},{cn}分别为为等差或等比数列,宜采用分组法求{an}的前n项和. (2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,宜采用分组法求和. 思路:分组求和法的常见类型 例2:数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1 n,则S17= . 解:S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9 并项求和:个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 裂项相消法 已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:(1)由题设知a1a4=a2a3=8, 又a1+a4=9,解得或(舍去). 设等比数列{an}的公比为q,由a4=a1q3得q=2, 故an=a1qn-1=2n-1,n∈N*. (2)Sn==2n-1, 又bn===-, 所以Tn=b1+b2+…+bn =(-)+(-)+…+)-) =-=1-,n∈N*. 裂项求和的常用变形 (1)=(-). (2)=(-). (3)=-. (4)若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,则=(-). (5)=-. 已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*). 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2, 所以q2+q-6=0. 又因为q>0,解得q=2. 所以bn=2n. 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8,① 由S11=11b4,可得a1+5d=16,② 联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以数列{an}的通项公式为an=3n-2, 数列{bn}的通项公式为bn=2n. (2)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn, 由a2n=6n-2,b2n-1=2 4n-1, 有a2nb2n-1=(3n-1) 4n, 故Tn=2 4+5 42+8 43+…+(3n-1) 4n, 4Tn=2 42+5 43+8 44+…+(3n-4) 4n+(3n-1) 4n+1, 上述两式相减,得 -3Tn=2 4+3 42+3 43+…+3 4n-(3n-1) 4n+1 =-4-(3n-1) 4n+1 =-(3n-2) 4n+1-8. 得Tn= 4n+1+. 所以数列{a2nb2n-1}的前n项和为 4n+1+. 一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an bn}的前n项和时