专题强化一：因式分解中的各种方法综合（分组分解法和十字相乘法）-2023-2024学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教版）

专题强化一：因式分解中的各种方法综合（分组分解法和十字相乘法） 考点一：分组分解法 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．这种分解因式的方法叫分组分解法． 例如：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）． 考点二：十字相乘法 【方法探究】 对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数． 所以例如，分解因式： 它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5． 所以）． 类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：． 分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以． 【方法归纳】 一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即． 我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法． 题型一：分组分解法 1．（22·23上·泉州·期中）因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 2．（22·23下·全国·专题练习）用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 3．（23·24上·安徽·开学考试）阅读下列材料： 因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解．如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解． 解题过程如下：． 这种因式分解的方法叫分组分解法． 利用这种分组分解的思想方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)若，为非零实数，，且，求的值． 题型二：十字相乘法 4．（22·23下·达州·期末）将多项式分解因式后正确的是（  ） A． B． C． D． 5．（23·24上·全国·课时练习）用十字相乘法分解因式： (1)；(2)；(3)． 6．（22·23下·湘潭·期末）材料：由多项式乘法，，将该式子从右到左使用，即可对形如的多项式进行因式分解：多项式的特征是二次项系数为，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和． 材料：因式分解：，将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式． 上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料将因式分解； (2)根据材料将因式分解； (3)结合材料和材料，将因式分解． 题型三：因式分解综合 7．（23·24上·东营·阶段练习）因式分解 (1)；(2)；(3)； (4)；(5)． 8．（23·24上·全国·课时练习）因式分解： (1)（添项）； (2)（拆项）； (3)（换元）． 9．（23·24上·威海·阶段练习）因式分解 (1)(2)(3)(4) 题型四：因式分解的妙用 10．（23·24上·西城·期中）阅读下列材料，回答问题： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式，我们可以进行以下操作：，再利用平方差公式可得；再如：求代数式的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：，于是由平方的非负性可知，当时，有最小值. 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______． (2)分解因式：______，代数式的最小值为______． 11．（23·24上·东营·阶段练习）先分解因式，再求值： (1)，其中，； (2)已知，，求的值； (3)利用简便方法计算：． 12．（23·24上·东营·阶段练习）先阅读下面的材料，再分解因式． 如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分