第二十二章二次函数综合题2023-2024学年人教版九年级上册 数学（福建适用）

第二十二章二次函数综合题2023-2024学年九年级上学期人教版数学（福建适用） 1．若函数G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为M，最小值记为N，且满足M﹣N＝2，则称函数在m≤x≤n上的“极差函数”． （1）函数①y＝2x﹣1；②y＝x2，其中函数 　 　是在1≤x≤2上的“极差函数”；（填序号） （2）已知函数G：y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）． ①当a＝1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“极差函数”，求t的值； ②函数G是在m+2≤x≤2m+1（m为整数）上的“极差函数”，若为整数，求a的值． 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+kx+2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线上的动点，直线BM交直线AC于点D，点N为BD的中点． ①若点M的坐标为（5，﹣3），求ON的长度； ②点M从点A开始沿着抛物线向点B运动，当点N的运动路程等于线段AC的长度时，求点M的坐标． 3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴只有一个公共点、交y轴于点（0，4a），且对称轴在y轴右侧， （1）求抛物线的顶点坐标； （2）直线y＝kx﹣2k+2（k＞0）与该抛物线相交A，B两点（A在B的左侧），抛物线的顶点为C． ①若点A，B的横坐标分别为1和4，求△ABC的面积； ②过点A作AE⊥x轴，垂足为E，延长AE交直线BC于F，求线段EF的长． 4．已知，点M为二次函数y＝x2+2bx+3c图象的顶点，一次函数y＝kx﹣3（k＞0）分别交x轴，y轴于点A，B． （1）若b＝1，c＝1，判断顶点M是否在直线y＝2x+4上，并说明理由； （2）若该二次函数图象经过点C（1，﹣4），也经过点A，B，且满足kx﹣3＜x2+2bx+3c．求该一次函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）设点P坐标为（m，n）在二次函数y＝x2+2bx+3c上，当﹣2≤m≤2时，b﹣24≤n≤2b+4，试问：当b≥2或b≤﹣2时，对于该二次函数中任意的自变量x，函数值y是否始终大于﹣40？请说明理由． 5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点A（0，﹣5），顶点为B（2，﹣1），过点C（2，﹣5）直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）求△BDE面积的最小值； （3）若D，E两点都在第四象限，过点D作直线y＝﹣1的垂线，垂足为F，直线EB与直线DF交于点G，连接CF，求证：四边形BCFG是平行四边形． 6．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）． （1）求抛物线的解析式； （2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点． ①求k1k2的值； ②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点． 7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系； （2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）． ①求△EQF面积的最小值； ②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN． 8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3，顶点为P（1，4），与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）点N是抛物线上一点，若∠ABN＝45°，求点N的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿对称轴向下平移m个单位长度后得到新的抛物线，C，D是新抛物线在第一象限内互不重合的两点，CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E，F，若存在这样的点C，D，满足△CEO≌△OFD，求m的取值范围． 9．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点．且抛物线的对称轴为x＝2，OC＝3，S△ABC＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，过D（m，﹣2）作抛物线切线（不与y轴平行，且与抛物线有且仅有一个交点）DE：y＝k1x+b1（切点为E）和DF：y＝k2x+b2（F为切点），求k1k2的值； （3）如图3，将抛物线向左平移两个单位后再沿y轴向下运动得抛物线C1，直线l3及l4为正比例函数（经过原点），直线l3、l4分别与（2）中直线DE、DF平行，l3与C1交于E，F两点，l4与C1交于G，H两点，M、N分别为EF、GH的中点，求点O到直线MN的距离d的最大值． 10．抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0