4.1 正弦和余弦（第一课时）课件2023-2024学年湘教版九年级数学上册

第四章 锐角三角函数 4.1 正弦和余弦（第一课时） 复习导入 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，它所对的直角边和斜边有什么关系？ A B C ) 30° 复习导入 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，它所对的直角边和斜边有什么关系？ A B C ) 45° = = 1 探究新知 这个猜测是真的吗？ 若把45°角换成任意一个锐角α， 则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？ 你能想办法利用已学的知识证明吗？ 猜测：在有一个锐角为45°的所有直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于. 4 探究新知 如图4－2， △ABC 和△DEF 都是直角三角形， 其中∠A＝ ∠D ＝α ， ∠C =∠F = 90°， 则成立吗？ 为什么？ ∵ ∠A =∠D =α， ∠C =∠F = 90°， ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF. ∴ 则 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 知识要点 正弦的定义： 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比值叫作角α的正弦函数，记作 sinα，即 sinα==. A B C α 对边 斜边 例如，当∠A＝30°时，我们有 sinA=°=. 知识要点 1. sinα是在直角三角形中定义的，∠α是锐角（注意数形结合，构造直角三角形）. 2. sinα是一个完整的符号，角a的符号“∠”习惯上省略不写，但对于用三个大写字母或数字表示的角，角的符号不能省略如：sinα不是sin与α的乘积，而是一个整体，表示∠α的正弦. 3. sinα是线段的一个比值.注意比的顺序，且0＜sin α＜ 1，无单位. 4. sinα的大小只与∠α的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 例1 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5. （1）求sinA的值； 解：∠A的对边BC=3，斜边AB=5. ∴sinA=. 典例精析 典例精析 例1 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5. （2）求sinB的值． 解：∠B的对边AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2-BC2 = 52-32 = 16. ∴ AC = 4. ∴ sinB= 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则表示( ) A．sin A B．sin B C．sin C D．以上都不对 2．下列说法正确的是( ) A．sin A表示一个角 B．sin A表示sin和A的乘积 C．sin A表示一个比值 D．sin A表示两条线段 B C 当堂练习 当堂练习 3.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13.求sin A，sin B的值. 解：∠A的对边BC=5，斜边AB=13. ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得 AC2= AB2-BC2= 132-52=144. ∴AC=12. ∴ ∴ 11 当堂练习 4.如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值. 解：如图，设点A（3，0），连接PA. A 在Rt△APO中，由勾股定理得 OP2= AP2+AO2= 42+32=25. ∴OP=5. ∴ 当堂练习 5.已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式b2＝(c＋a)(c－a)，且5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值． 解：∵b2＝(c＋a)(c－a)，∴b2＝c2－a2，∴a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°. 又∵5b－4c＝0， ∴，则∴sinA+sinB=. 课堂小结 正弦的定义： 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比值叫作角α的正弦函数，记作 sinα，即 sinα==. A B C α 对边 斜边 0＜sin α＜ 1 $$