利用导数讨论单调性和极值 讲义-2024届高三数学一轮复习

利用导数讨论单调性 导数可以用来求函数在某一点的切线斜率，而切线斜率的正负可以反映函数的单调性，因此我们可以利用导数来研究函数的单调性.利用导数研究函数单调性的主要考点有：利用导数对函数的单调性进行讨论（含参函数或不含参函数）和利用导数解决函数单调性的参数范围. 1. 讨论单调性 1. 不含参 例1、已知函数.（1）求函数在内的单调递增区间； 解：由题意知，，， 所以当时，解得 即在的单调递增区间是，. 例2、已知函数求单调增区间； 解： 令，解得 所以单调增区间为. 1. 含参类 1. （导函数只有一个根）已知函数.讨论的单调区间. 解：（1）由题意，函数，可得的定义域为 且. 由，即，解得 由，即，解得 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 例4、（导函数有两个根之能因式分解）已知函数.讨论函数的单调性； 解：. 若，由，得 由得；由得 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，由，得或. 当时，由，得； 由，得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，由，得； 由，得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增. 例5、（导函数有两个根之不能因式分解）已知函数，其中. 求函数的单调区间. 解：函数定义域为，且， 令，判别式 当，即时，恒成立 所以 ∴在上单调递减； 当，时，由，解得，， 若，则 ∴时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减； 若，则，∴时，，单调递减； 时，，单调递增； 综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 时，的单调递减区间为，，单调递增区间为； 时，的单调递减区间为. 注：含参类问题求解单调性的重难点是如何对参数进行分类，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 分类讨论的思路步骤： 第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点； 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论：当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）； 第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）； 第四步、（列表）根据第三步的草图列出函数和导函数随x的变化情况表，并写出函数的单调区间； 第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点、极值与区间端点. 1. 求参数范围 1. 在区间D上存在递增（减）区间： 方法1：转化为‘的导函数大于零（小于零）在区间D上有解’； 方法2：转化为‘存在区间D的一个子区间使的导函数大于零（小于零）’. 1. 在区间D上单调递增（减）： 方法1：转化为‘的导函数在区间D上恒大于等于零（恒小于等于零）’； 方法2：转化为区间D是的单调递增（减）区间的子区间. 例6、（2011-2012 石景山一模文 18）已知函数 f（x） x2 2a ln x . 若函数g（x）= + f（x）在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围. 解：g（x） = + x2 2a ln x g'（x） - +2x+ 由已知：函数g（x）为[1, 2] 上的单调 减函数 则g'（x） 0 在[1, 2] 上恒成立， 即a -在[1，2]上恒成立 令h（x） - 则h'（x）=（ +2x） 可知h（x）单调递减，最小值为: h（-2）= - 得a - . 1. 已知f（x）=，g（x）=a+2x（a≠0），若h（x）= f（x）- g（x）存在单调递减区间，则a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞） 解：h（x）= 2x 求导得h'（x）=ax2 由题意知：h（x）存在单调递减区间 则h'（x）<0在（0，+∞）上有解 即ax2<0在（0，+∞）有解 解得1<a<0或a>0 注：对于导函数中关于函数单调性与参数的综合问题，首先是要区分好是恒成立问题还是存在性问题，进而将问题转化为不等式问题，进而得到答案. 利用导数求极值、最值 与单调性并列，极值与极值点是导数的第二个运用.与单调性类似，导数与极值、极值点也主要有两种考查方式：第一种是求函数的极值或极值点（多个极值比较大小，最大即为最值），第二种是知道了极值或极值点求参数范围. 注：极值点是函数的导函数为零时的横坐标，而不是真正的一个点. 1. 求极值（点）、最值 例1、已知函数.求函数的极值. 解:∵又， 由得或， 当和时，，此时为减函数； 当时，，此时为增函数， 由的单调性知函数的极小值为，极大值为. 例2、已知函数在处取得极值7． （1）求的值； （2）求函数在区间上的最大值 解:（1）因为，所以， 又函数在处取得极值7， ，解得；， 所以， 由得或；由得；满足题意； （2）又， 由（1）得在上单调递增，在上单调递减， 因此． 1. 已知极值（点）求参数范围 1、根据极值点特点求参数范围 例3、已知函数