复数的三角形式及几何意义-河南省信阳高级中学2023-2024学年高一上学期数学竞赛教程

河南省信阳高级中学2023-2024学年高一上期数竞班教程 复数的三角形式及几何意义 本节介绍复数的几何形式与三角形式，它们展示了复数的复平面的几何意义. 通过复数的三角形式及运算, 我们可以看到复数相乘 (除) 所对应的便是几何旗转. 同时, 复数的三角形式还可以有效地筆接三角恒等变换, 角决一些三角恒等式的计算, 因此, 木节内容也是强基或联赛中重点考察的对象. 一. 基础理论 1. 三角形式. 复数 与复平面上的点 是一一对应的, 点 和向量 于是一对应的. 向量 的模长称为复数 的模, 即满足： 进一步, 复数 在复平面内对应的点为 . 我们把向量 与 轴正方用 来表示. 对于非零复数, 它的辐角主值是唯一的（复数 0 的辐角是任意的）. 显然, 若 , 则 , 于是就可进一步得到复数的三角形式: 设 为辐角, 那么点 点的坐标就可以记为 , . 2. 辐角的性质. 显然, 若记 则复数 的主幅角可以衣示为反三角函数的形式： 3. 指数形式 由欧拉公式: 可得到复数的指数形式: . 4. 三角形式的基本运算. 对于复数代数形式的加减乘除运算, 属于高考数学的内容之一, 这部分相对简单, 此处就不再列举, 我们这里重点需車强调的是复数的三角形式及运算. (1) 乘法 . 进一步可得:或 . 几何意义：模翻倍，角度逆时针旋转.（可以看到，复数的乘法从集合意义上讲便是旋转，这是复数的一个重要价值. ) 进一步, 可得乘方的运算公式: 设 , 则 (依莫弗定理) (2) 除法 .几何意义：模折倍，角度顺时针旋转（实则为夹角，可正可负), 即或. (3) 开方 设，则例如, . 可以看到，复数的次方根是个复数，它们的模都等于这个复数的模的次算数根，它们的幅角分别等于这个复数的幅角与 的 倍的和的 分之一. 5. 复数的几何曲线 (1) 满足 的复数 所对应保点的轨速为线段 的中垂线. (2) 满足 的复数 所对应的点的轨迹为以 为圈心, 半径为 的圆； （3）满足 的复数 所对应的点的轨速为以 为椭圆, 长轴长为的椭圆. 例1. 计算下列各式的值. (1) , (2) . 例2.已知复数满足，且，则的三角形式为 . 例3. 设 , 则 等于 A. B. C. D. 例 4. (2020 清华虽基计划) 求 . 练习 1. 化简 . 例 6. (2020 清华强基) 设复数 满足 , 则 的 A.最大值为 C.最小值为 B.最大值为 D.最小值为 练习 2. (2019 中科大自主招生) 若复数 满足 是纯劇数, 则 的最小值为 . 答案: . 练习 3. 若复数 消足 , 则 的最大值为 . 答案: 2 练习4. 若复数 浀足 , 則 的最大值为 . 答案: 8. 已知 ,当 最小时, . 9. 已知复数 、满足 与 的实部和虚部均属于 , 则 在复平面上形成轨迹的面积为 . 答案: 解: 学科网（北京）股份有限公司 $$