24.3.1.1 锐角三角函数的定义 教案2023-2024学年华东师大版数学九年级上册

24.3 锐角三角函数 1. 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数的定义 ※教学目标※ 【知识与技能】 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比. 【过程与方法】 通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的作用. 【情感态度】 1.通过学习培养学生的合作意识. 2.通过探究提高学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 锐角三角函数的概念. 【教学难点】 锐角三角函数的概念的理解. ※教学过程※ 一、情境导入 如图（1），图（2）都可以用来测量物体的高度. 这两个问题的解决，将涉及直角三角形中的边角关系.直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关的问题. 二、探索新知 1.某个角的对边、邻边的概念. 在Rt△ABC中，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两边直角边为∠A的对边与邻边，分别用a、b表示（如图）. 2.做一做. （1）画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？量一量、算一算. （2）你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？和你的同伴交流一下. （3）若∠A=45°、60°时，则∠A对边与斜边之比是多少？ 结论：在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A=30°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值. 经过验证，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还是一个固定值，与Rt△ABC的大小无关. 说明：观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知Rt△AB1C1Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3.∴==可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.同样，其对边与斜边，邻边与斜边的比值也是唯一确定的. 3.锐角三角形函数的定义 ∠A的正弦：sinA= ∠A的余弦：cosA= ∠A的正切：tanA= ∠A的正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数. 4.知识拓展 （1）正弦与余弦三角函数值的取值范围. ∵直角三角形中，斜边大于直角边.∴0<sinA<1,0<cosA<1. (2)同角三角函数关系 sin2α+cos2α=1;tanα=. (3)互余两角的三角函数值 若α、β都是锐角，且α+β=90°,那么：sinα=cosβ,cosα=sinβ. 三、巩固练习 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值. 解：AB==17,sinA=,cosA=, tanA=. 【练习】 1.如图，在Rt△MNP中，∠N=90°，则： ∠P的对边是 ，∠P的邻边是 ； ∠M的对边是 ，∠M的邻边是 . 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△DEC中，∠E=90°，CD=10，DE=6.试求出∠D的三个三角函数值. 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.根据下列所给条件，分别求出∠B的三个三角函数值： （1）a=3,b=4;(2)a=5,c=13. 答案：1.MN PN PN MN 2.由勾股定理,得CE=8,所以sinD=,cosD=,tanD=. 3.(1)sinB=,cosB=,tanB=. (2)sinB=,cosB=,tanB=. 四、应用拓展 【例2】已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=3,求AB、AC的值. 解：∵sinA=,∴AB=, ∴AC=. 【例3】如图，已知α为锐角，sinα=,求cosα、tanα的值. 解：方法一：用定义法求解 ∵sinα=,∴设BC=3x,则AB=5x.由勾股定理，得AC=4x.∴cosα=,tanα=. 方法二：用公式求解 ∵α为锐角，∴cosα==,tanα=. 五、归纳小结 1.正弦、余弦、正切的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度之比，理解好这三个概念是学好本章的关键； 2.正弦、余弦、正切实际上都是比值，没有单位，它们只与锐角α的大小有关，与三角形的边长无关； 3.对于每一个锐角α的确定的值，它的正弦、余弦和正切都有唯一确定的值与之对应；反之，对于每一个确定的正弦、余弦和正切值，都有唯一的锐角与之对应. ※课后作业※ 1.教材第111页习题24.3第1、2题