第十三章轴对称压轴题三角形综合题2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十三章压轴题三角形综合题2023-2024学年八年级上学期人教版数学 1．如图1，在△ACO中，OA＝OC，AB＝CD，∠BAO＝∠DCO． （1）求证：OB＝OD； （2）如图2，AB交CD于点P，若，求证：A，O，D三点共线． 2．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合） （1）∠ABO的度数为 　 　，△AOB　 　（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 3．如图1，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE，BC与AD、DE分别交于点F、H，AC和DE交于点G，连接BD，CE． （1）若∠DBA＝70°，求∠DAC的度数； （2）如图2，延长BD，EC交于点M，求证：A、H、M三点在同一条直线上． 4．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB． 证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD， 在△ADC和△EDB中， AD＝ED（已作）， ∠ADC＝∠EDB（ 　 　）， CD＝BD（中点定义）， ∴△ADC≌△EDB（ 　 　）． （2）探究得出AD的取值范围是 　 　． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝8，且∠ADE＝90°，求AE的长． 5．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：PC＝AN． 6．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，△DEC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转α角（0＜α＜180°）得到，且点A的对应点D恰好落在直线BC上，如图1． （1）判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明； （2）当∠ADC＝2∠BAC时，求∠BAC的大小； （3）如图2，点F为线段AD的中点，点G在线段AB上且AG＝AF，当点E在线段AD上时，求证：AB＝AE+2BG． 7．已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F． （1）如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由． （2）如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由． （3）当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系． 8．在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，以DE为边向右作等边△DEF． （1）如图1，若AD＝2BE． ①求证：∠CEF＝∠BDE； ②连接CF，求∠BCF的度数． （2）如图2，已知△ABC的面积是，AB＝3，O为AC的中点，若BE＝2AD，连接CF，求AF+OF的最小值. 9．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 10．如图1，△ABC和△ADE是两个等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝AD＝EA，BC与AD、DE分别交于点F、H，AC和DE交于点G，连接BD，CE． （1）若∠BDA＝65°，求∠DAC的度数； （2）如图2，延长BD，EC交于点M， ①证明：A，M，H在同一条直线上； ②若B