专题12直角三角形（4个知识点6种题型）-【倍速学习法】2023-2024学年八年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

专题12直角三角形（4个知识点6种题型） 【目录】 倍速学习三种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.直角三角形全等的判定 知识点2.直角三角形的性质定理的推论 知识点3.勾股定理 知识点4.两点的距离公式 【方法二】 实例探索法 题型1.直角三角形全等的判定定理 题型2.直角三角形的性质定理 题型3.直角三角形的性质的应用 题型4.勾股定理 题型5.勾股定理及其逆定理的应用 题型6.两点间距离 【方法三】 成果评定法 【倍速学习三种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 在中，， 【例1】（22·23上·宝山·期中）五边形中，，平分，，求证：． 【变式】（22·23上·青浦·期末）如图，在中，垂直平分边，交于点E，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H．求证：． 知识点2.直角三角形的性质定理的推论 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于. 【例2】（23·24上·上海·阶段练习）在中，若，于，，，则 ． 【变式1】．（23·24上·上海·阶段练习）在中，，平分，交于，如果，那么 ． 【变式2】．（2022·上海市罗星中学八年级期末）已知是等腰三角形，是边上的高，且，那么此三角形的顶角的度数为______． 知识点3.勾股定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 【例3】（21·22上·浦东新·期末）中，，点D、E分别为边AB、BC上的点，且，，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H． （1）点F是CD中点时，求证：； （2）求证： 【变式】．（2022·上海浦东新·八年级期末）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度． 知识点4.两点的距离公式 ①数轴上两点A、B分别表示实数m、n，则AB的距离为. ②如果直角坐标平面内有两点，那么两点间的距离 【例4】（2022·上海·八年级单元测试）已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于_____． 【变式】．已知点、，则线段的长为______． 【方法二】实例探索法 题型1.直角三角形全等的判定定理 1．（22·23上·青浦·期末）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点 ，如果，且，那么的度数是 ． 2．（22·23上·青浦·期末）如图，已知，按如下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线交于点． (1)按照上述方法所作的线段是的________；（在横线上填上正确的序号） ①中线；②角平分线；③高． (2)求作：点，使得点到直线与直线的距离相等，且；（保留作图痕迹，不写作法，但要写出结论） (3)过点分别作，，垂足分别为点、．求证：． 3．（22·23上·静安·期中）如图，已知在中，，点是内部的一点，，，垂足分别为点，且．求证：．    4．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC． 5．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E． (1)求证：CE=CDBE； (2)如果CE=3BE，求的值． 题型2.直角三角形的性质定理 6．（22·23上·上海·期中）如图，在四边形中，，点分别是对角线的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，则下底BC的长为__． 8．（23·24上·上海·阶段练习）如图，在和中，，是中点．求证：．