5.7 三角函数的应用（五大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

5．7 三角函数的应用 【题型归纳目录】 题型一：三角函数模型在物理学中的应用 题型二：三角函数模型的实际应用 题型三：数据拟合问题 题型四：三角函数在圆周中的应用 题型五：几何中的三角函数模型 【知识点梳理】 知识点一、函数中，，，的物理意义 1、简谐运动的振幅就是． 2、简谐运动的周期． 3、简谐运动的频率． 4、称为相位． 5、时的相位称为初相． 知识点二、三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 知识点三、三角函数模型应用的步骤 （1）建模问题步骤：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． （2）建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． 知识点四、三角函数应用题的三种模式 （1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题． （2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题． （3）整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题． 知识点五、三角函数模型应用注意点 （1）一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围． （2）应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解． 【典型例题】 题型一：三角函数模型在物理学中的应用 例1．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（        ）cm．（精确到0.1cm） A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7 例2．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小：音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的有（    ） A．函数不具有奇偶性： B．函数在区间上单调递增： C．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度大： D．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲一定比纯音更低沉． 例3．如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，下列结论正确的是（    ） A．小球的最高点和最低点相距 B．小球在 时的高度 C．每秒钟小球往复运动的次数为 D．从 到 ，弹簧长度逐渐变长 变式1．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，，等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为.则函数的周期为（    ） A． B． C． D． 变式2．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式3．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（    ） A．-2 B．2 C． D． 【方法技巧与总结】 处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的 三角函数知识结合解题． 题型二：三角函数模型的实际应用 例4．（2023·江西省万载中学高一阶段练习）如图所示，一条河宽AC为1km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市A和B，已知地下