第三章 勾股定理复习讲义（知识要点+经典例题+课后巩固） 2023-2024学年苏科版八年级数学上册

期中复习：勾股定理和直角三角形 【知识要点回顾】 1. 直角三角形常用定理： 定 理 直角三角形斜边上的 等于斜边的 . 直角三角形中，30°角所对的 边等于 的一半. 基 本 图 形 几 何 语 言 在Rt△ABC中， ∵ ∴ . 在Rt△ABC中， ∵ ∴ . 2．如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据 所学的知识解决下面问题． （1）求的周长； （2）判断是不是直角三角形，并说明理由. 【课前研学】 如图是一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），请画出一条长为且不与网格线重合的线段AB，再画一个以AB为边长的正方形. 思考 这个正方形的面积是多少？为什么？ 【课堂研学】 例1 ⑴请利用下图验证勾股定理： ⑵欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者．下面问题是欧几里得证 明勾股定理的证法一小片段，同学们，让我们一起来走进欧几里得的数学王 国吧！如图，以的三边为边长，作正方形、、． ①连接、，则、的关系是 ； ②过点作的垂线，交于点，交于点，若，， 则正方形的边长是 ． ⑶我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补法证明了勾股定理，如图， 设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a， b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上. 若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的 面积为 . ⑷勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等 的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法， 一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式，化简便得结论 ．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称 之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也 有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三 角形和如图2放置，其三边长分别为，，，， 显然． ①请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这 三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． ②请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三 个顶点，可得，则边上的高为______． ③如图4，在中，是边上的高，，，，设， 求的值． 【课后巩固】 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图． 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ，= ， ， 则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，求该最短距离． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$