第二章 轴对称图形(2)复习讲义（知识要点+经典例题+课后巩固） 2023-—2024学年苏科版八年级数学上册

期中复习：轴对称图形（2） 【知识要点回顾】 1. 等腰三角形、等边三角形的轴对称性： 等 腰 三 角 形 等 边 三 角 形 基 本 图 形 对称轴 性 质 文 字 等腰三角形两 相等，两 角 相等；顶角的 、底边 和 合一，简称 ． 等边三角形三 相等，三个角都是 ；角的 、边 和 均合一. 几 何 语 言 ①∵△ABC是等腰三角形． ∴ = ， ∠ =∠ ． ②∵AB=AC，AD⊥BC于D ∴ 或∵ ∴ （三线合一） ∵△ABC是正三角形 ∴ = = ∠ =∠ =∠ = 又∵AD⊥BC于D ∴ （三线合一） 判 定 文 字 ①有 相等的三角形是 等腰三角形；（定义） ②有 相等的三角形是 等腰三角形； ① 相等或有 的三角形是正三角形； ②有 的等腰三角形是正三角形． 几 何 ∵∠ =∠ ∴（等角对等边） 即△ABC是等腰三角形． ∵ 或 或 ∴△ABC是正三角形 2.如图，在正方形网格中，A、两点是格点，如果点也是格点，且是等腰 三角形，这样的点有 个．（在图中画出所有点C） 3.在直线l上求一点P，使△PAB是等腰三角形；（在图中画出所有点P） 【课前研学】 折纸不仅是一项有趣的游戏，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形纸片后能得到哪些数学结论． 取一块长方形的纸片，沿着一条对角线折叠，将折叠后的纸片粘贴在下方： 观察 1.折叠后的图形是不是一个轴对称图形？如果是，请画出它的对称轴. 2.折叠后的图中有没有等腰三角形，如果有请标记出来. 【课堂研学】 例1 实践操作，解决问题 ⑴如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平 面内，边和相交于点．在图1中， ①和的数量关系为___________． ②连接，和的位置关系为___________. ⑵若图1中的矩形变为平行四边形时（），如图2所示，结论①和结论 ②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理 由； ⑶小敏沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形（如图3所示）， 沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小敏折叠的矩形纸片的 长宽之比为 ；（写出所有可能情况） ⑷新题探究： 平行四边形中，，如图4所示，将沿 对角线翻折，使点落在所在平面内，连接，当恰好为直 角三角形时，的长度为___________． 例2 如图1，在长方形中，，点E为边上一动点，将 沿着直线翻折后得到，请解决下列问题．     ⑴当点E为边的中点时， ①________； ②判定DF和CF的位置关系并加以证明. ⑵连接，当为等腰三角形时，请在图2中画出对应的图形，并 求出此时的面积；   ⑶连接，当为直角三角形时，求出此时________． 例3 【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q 在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 ⑴如图①，折痕的端点P与点A重合． ①当时， ______． ②若点E恰好在线段上，则的长为_______． 【深入思考】 ⑵点E恰好落在边上． ①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图③，在①的条件下，当时，PE的长为_______． 【拓展提升】 ⑶如图④，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时， 求的长． 【课堂检测】 如图，在中，，，，平分，交边 于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． ⑴______，______度； ⑵当四边形为轴对称图形时，求的长； ⑶若是等腰三角形，求的度数； ⑷若点在线段上，连接、，直接写出的值最