5.5 三角恒等变换（十二大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

5．5 三角恒等变换 【题型归纳目录】 题型一：两角和与差的正（余）弦公式 题型二：两角和与差的正切公式 题型三：二倍角公式的简单应用 题型四：给角求值 题型五：给值求值 题型六：给值求角 题型七：利用半角公式化简求值问题 题型八：三角恒等式的证明 题型九：辅助角公式的应用 题型十：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明 题型十二：三角恒等变换在实际问题中的应用 【知识点梳理】 知识点一：两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： 知识点诠释： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 知识点二：两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 知识点诠释： （1）公式中的都是任意角； （2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即； （3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如 当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便； （4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形： 这也体现了数学中的整体原则． （5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同． 知识点三：两角和与差的正切函数 知识点诠释： （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开． 2、重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 知识点五：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识点诠释： （1）公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立； （2）倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的．要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键．如：； 2、和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 知识点六：二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ； 降幂公式： 升幂公式： 知识点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等； 2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）； 3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接． 知识点七：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 知识点八：辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 知识点九：半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的