4.3.1等比数列的概念（第2课时）（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1等比数列的概念 第2课时 教学设计 1、 课时教学内容 等比数列的定义、等比数列的通项公式、等比中项，等比数列与函数的关系，学习等比数列的必要性 2、 课时教学目标 1. 理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法. 2. 通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题. 3. 理解等比数列的常用性质. 4. 掌握等比数列的判断及证明方法． 3、 教学重点、难点 1、教学重点 运用等比数列的知识解决简单的实际问题. 2、教学难点 根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质， 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 例4用10000元购买某个理财产品一年． （1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）? （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到)? 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和，，，…构成等比数列． 解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列， 首项，公比，所以 所以，12个月后的利息为(元)． （2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是 ． 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元． 解不等式，得 所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息． 环节二 观察分析，感知概念 例5 已知数列的首项． （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； （2）若为等差数列，公比，证明数列为等差数列． 分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明． 证明：（1）由，，得的通项公式为 设，则 ． 又 ， 所以，是以27为首项，9为公比的等比数列． （2）由，，得 两边取以3为底的对数，得 所以 又 所以，是首项为1，公差为的等差数列． 环节三 抽象概括，形成概念 思考：已知且，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列? 环节四 辨析理解 深化概念 例6某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内? 分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列．由题意可知，数列是等比数列，是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法． 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，．由题意，知 ， ，其中， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 ． 由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1)． 表4.3-1 n 1 2 3 4 5 6 7 anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 环节五 概念应用，巩固内化 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减， 且即可．由 ， 得 ． 所以，当时，递减．又， 所以，当时，． 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内． 为什么？ 环节六 归纳总结,反思提升 问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1．知识清单： (1)等比数列的实际应用． (2)等比数列的常用性质． (3)等比数列的判定和证明． 2．方法归纳：方程和函数思想． 3．常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错． 等差数列 等比数列 不同点 (1)强调每一项与前一项的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一. (1)强调每一项与前一项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值． 相同点 (1)都强调每一项与前一项的关系； (2)结果都必须是常数； (3)数列都可以由a1、d或a1、q确定． 联系 (1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； (2){an}为等差数列{bn}为等比数列，则{ban}为等比数列. 环节七 目标检测