第十一讲：圆与勾股定理专题 2023年九年级中考数学复习

勾股定理与圆专题 一、考点分析 圆的证明与计算中经常会出现直径、切线等比较特殊的条件，那么在相关的证明中必然利用圆周角定理的及其推论、垂径定理、切线判定以及性质定理的相关条件寻找或构造直角三角形，在相关计算时会运用勾股定理建立线段之间的关系，从而构造方程解决问题。 二、例题精讲 【例1】如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F。 （1）求证：DE=DF。 （2）若OF=1，BF=3，求OD、OE的值。 【变式练习】如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作 OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA． （1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长． 【例2】如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，。 （1）求证：AF=CF； （2）若⊙O的半径为5，AE=8，求EF的长。 【变式练习】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，F是⊙O上的一点，AC = FC，CD⊥AB于D，连AF交CD于点E。 （1）求证：AF=2CD； （2）若CD=4，⊙O的半径为5，求AE的长。 【例3】、如图，点D为Rt△ABC斜边AB上的一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于点E、F、G三点，连EF、FG。 （1）求证：∠EFG =∠B； （2）若AC=2BC=，D为AE的中点，求CD的长。 【变式练习】1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E， （1）求证： BD = DE。 （2）连接BE，如果BC=6，AB=5，求BE的长． 2.如图，已知点E在直角ΔABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D. （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径. 三、巩固训练 1．如图, AB是⊙O的直径, BC⊥AB于点B, 连结OC交⊙O于点E, 弦AD∥OC, 弦DF⊥AB 于点G. (1) 求证: CD是⊙O的切线; (2) 若 DG/AD＝, ⊙O的半径为5, 求DF的长. 2、如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，过D点作DH⊥AC，垂足为H，E为BC边上一点，∠HDE=2∠A （1）求证：DE是⊙O的切线 （2）若DH=8，DE=5，求AC。 3．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连EC．CD。 （1）求证：直线AB是⊙O的切线 （2）试猜想线段BC．BD．BE三者之间的数量关系，并加以证明。 （3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求S△OAB的面积。 4．如图，Rt△ABC中，已知，∠ACB=900，BC=6，AB=10，以BC为直径作⊙O交AB于D，AC．DO的延长线交于E，点M为线段AC上一点，且CM=4。 （1）求证：直线DM是⊙O的切线。 （2）求tan∠E的值。 5．如图，AB为⊙O的直径，C点在⊙O上，，PE∥AC。 （1）求证：PE为⊙O的切线。 （2）若AB=15，PE=10，求CD的长。 6．如图，在△ABC中，∠A=90o，CD平分∠ACB交AB于D，AD<AC，过C．D两点作⊙O，且圆心O在BC上. （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若CD＝5，，求⊙O的半径. 7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。 （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长。 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上，且DE⊥BE。 （1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系。并说明理由。 （2）若AD=6，AE=，求△DBE外接圆半径。 学科网（北京）股份有限公司 $$