专题3.7 直线与圆锥曲线的综合问题（强化训练）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）

专题3.7直线与圆锥曲线的综合问题 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 题型二 弦长问题 题型三 中点弦问题 题型四 定点问题 题型五 定值问题 题型六 定直线问题 题型七 三角形（四边形）问题 题型八 求参数范围问题 题型九 双切线问题 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为 . 5．直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ． 6．已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为 . 7．如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：    (1)有两个公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 题型二 弦长问题 8．已知椭圆的长轴长为，焦点是、，点到直线的距离为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)求线段的长． 9．直线与椭圆交于两点，记的面积为. (1)当，时，求的取值范围； (2)当，时，求直线的方程. 10．已知双曲线经过点，且其两条渐近线相互垂直． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 11．已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于两点，若，求的值． 12．已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求. 13．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：. (1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值； (2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积． 题型三 中点弦问题 14．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 15．设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 16．（多选）已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为 D．的周长为 17．已知椭圆的长轴长为，是上一点. (1)求E的方程； (2)若是上两点，且线段的中点坐标为，求的值. 18．在平面直角坐标系中，已知椭圆：，直线：（为实数且）与椭圆交于，两点. (1)若直线过椭圆的右焦点，求的面积； (2)线段的中点为，求直线的斜率. 19．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 . 20．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，且交E于A，B两点，. (1)求E的方程； (2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程. 题型四 定点问题 21．椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，且与的面积之比为. (1)求的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点. 22．已知为椭圆：上一点，长轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标. 23．已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时. (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点. 24．已知点在双曲线上． (1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值； (2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 25．已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，若，且双曲线焦距为4． (1)求双曲线的方程； (2)如果为双曲线右支上的动点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 26．在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点. (1)求的方程； (2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于，两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点. 27．已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. (1)求抛物线的方程； (2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点. 题型