4.5.3 函数模型的应用（第1课时）（教学课件）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 4.5.3 函数模型的应用（第1课时） 第 4章 指数函数与对数函数 目 录 1 学习目标 2 新课讲解 3 课本例题 4 课本练习 5 题型分类讲解 6 随堂检测 7 课后作业 学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2.能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点) 3.了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点) 4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．(重点) 情境导入 【想一想】 五期后的本利和是多少？ 爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%. 解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和. （1）实际问题中两个变量之间一定是确定的函数关系吗？ 提示: 两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系. （2）函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义就可以吗？ （3）用函数模型预测的结果和实际结果必须相等吗？ 【思考】 提示:函数模型中定义域必须满足实际意义. 提示:拟合函数预测的结果近似的符合实际结果即可. 【问题】 解决上述问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和. 我们知道 ， 函数是描述客观世界变化规律的数学模型 ， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画 . 面临一个实际问题 ， 该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 1．常见函数模型 常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) (4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) (5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (6)分段函数 3.利用函数解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (1)审题；(2)建模； (3)求模；(4)还原． 步骤用框图表示为： 例3、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律， 可以为制定一系列相关政策提供依据．早在 1978 年，英国经济学家马尔萨 斯(T.R.Malthas，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型y=y0ert， 其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率． 下表是1950～1959年我国的人口数据资料 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 (精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)如果按上表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？ 分析 ： 用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型 ， 就是要确定其中的初始量 和年平均增长率 r． 解:(1)设1951～1959年我国各年的人口增长率分别为… ． 由 可得1951年的人口增长率 ≈0.0200． 同理可得,≈0.0210,≈0.0229,≈0.0250,≈0.0197， ≈0.0223，≈0.0276,≈0.0222,≈0.0154． 于是,1951～1959 年期间 ， 我国人口的年平均增长率为: 令 =55196， 则我国在 1950～1959年期间的人口增长模型为 ，t ∈[0,9]． 根据表 中的数据画出散点图 ， 并画出函数 ，t ∈[0,9] 的图象由图可以看出 ， 所得模型与 1950～1959 年的实际人口数据基本吻合 ． 事实上 ， 我国 1989年的人口数为 11.27亿 ， 直到 2005年才突破13 亿 ． 对由函数模型所得的结果与实际情况不符 ， 你有何看法 ？ 因为人口基数较大 ， 人口增长过快 ， 与我国经济发展水平产生了较大矛盾 ， 所以我国从 ２０ 世纪 ７０ 年代逐步实施了计划生育政策 ． 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件