空间向量与立体几何知识梳理-2024届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何知识梳理 一．空间向量 1.空间向量的有关概念： （1）空间向量的定义： 。 （2）表示方法①几何表示法：空间向量用 表示，若向量的起点是A，终点是B，也可记作；②字母表示法：用字母，，，…表示。 （3）长度或模：空间向量的 ， 记作 。 （4）零向量： 记为 ，其方向是任意的或方向不确定。 （5）单位向量： 。 （6）相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 。 （7）共线向量(平行向量)：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． 规定零向量与任何向量平行，与共线的单位向量为 . （8）相等向量： ，相等向量经过平移后总可以重合。 与平行向量关系 。 （9）共面向量：一般地，能平移到 的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。 2. 空间向量的加、减法运算、数乘运算（与平面向量运算一样） (1)向量加法的三角形法则：首尾相接,首尾连 向量加法的平行四边形法则：共起点,对角线 (2)向量减法的三角形法则，共起点,连终点,指向被减向量 推广：； 。 (3)实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：， 它的长度和方向规定如下：①, ②当时, 的方向与的方向 ；当时, 的方向与的方向 . (4)运算律： ①加法交换律： ②加法结合律： ③数乘结合律：λ(μ＝μ(λ)＝(λμ) ． 数乘分配律：(λ＋μ) ＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ 3. 空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ。 推论：在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点. （2）共面向量定理：如果两个向量不 ，与向量共面的充要条件是存在实数使 。 推论：对空间四点P，M，A，B四点共面的充要条件是 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝＋x＋y； ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥，或∥). （3）空间向量基本定理：如果三个向量不 ，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。 4.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角：已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作 ，其范围是 ，若，则称与互相垂直，记作：。 (2)两向量的数量积：已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作记作，即。 (3)空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律： c. ④不满足乘法结合率： （4）投影向量：向量向向量投影，得到 ，向量称为向量在向量上的投影向量。 5. 空间向量的直角坐标系： （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O—xyz，x 轴、y 轴、z 轴，都叫做叫做坐标轴，点O叫做原点，向量都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面， Oyz平面， Oxz平面，它们把空间分成八个部分。 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。 对空间任一向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组,使=（x,y,z） （3）空间向量的坐标表示及其应用 设，. 向量表示 坐标表示 两向量和 两向量差 数乘向量 数量积 共线 垂直 模 夹角 ， 注意： ①若，，则。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②中点公式：若，，当P为AB中点时其坐标为 。 ③，三角形重心P坐标为 。 ④ΔABC中①<=>A为锐角；②<=>A为钝角，钝角Δ。 二．空间向量与立体几何 1.直线的方向向量和平面的法向量 ⑴直线的方向向量： 若A、B是直线l上的任意两点，则为直线l的一个方向向