4.4.3 不同函数增长的差异（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

4.4 对数函数 4.4.3 不同函数增长的差异 第四章 指数函数与对数函数 复习引入 在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异. 活动1：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ 新知探索 活动2：我们不妨以一次函数和指数函数为例. 新知探索 利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表.可以看到，函数和的图象有两个交点. 在区间上，函数的图象位于的图象之上，即；在区间上，函数的图象位于的图象之下，即；在区间上，函数的图象位于的图象之上，即 新知探索 这表明，虽然这两个函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化. 活动3：下面请同学们在作图的过程中扩大自变量的范围，在更大的范围内，观察和的增长情况. 新知探索 新知探索 综上所述，虽然函数与在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度.尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有. 新知探索 一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似.即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度. 指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长. 新知探索 活动4：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数的特点吗？不妨以函数和为例. 不存在 … … … 新知探索 思考1：如果将放大倍，再对对数函数和的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？ 新知探索 一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长最终会慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有. 对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律. 新知探索 活动5：类比上述过程， (1)画出一次函数对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异； 新知探索 活动5：(2)试着概况一次函数，对数函数和指数函数的增长差异； ①的图象在上匀速上升； ②的图象在上增长得越来越慢； ③的图象在上增长得越来越快. 新知探索 活动5：类比上述过程， (3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义. ①直线上升匀速上升； ②对数增长缓慢增长； ③指数爆炸增长得越来越快. 练习 题型一：三类函数模型增长差异的比较 例1.下列函数中，增长速度最快的是（ ）. 答案：A.一次函数、指数函数和对数函数三类函数模型中，指数增长最快. 练习 方法技巧： 三类函数模型增长差异的比较： ①一次函数：的图象在上匀速上升； ②对数函数：的图象在上增长得越来越慢； ③指数函数：的图象在上增长得越来越快. 新知探索 变1.“红豆生南国，春来发几枝”给出了红豆生长时间(月)与枝数的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（ ）. 指数函数 对数函数 幂函数 二次函数 答案：A.根据已知所给的散点图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可知，用指数函数拟合最好，故选A. 新知探索 题型二：函数模型的选择 例2.学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金(单位：万元)随生源利润(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：其中哪个模型符合该校的要求？ 解：作出函数的图象，观察图象可知，在区间上， 的图象都有一部分在直线的上方，只有的图象始终在和的下方，这说明只有按模型进行奖励才符合学校的要求. 练习 方法技巧： 几类不同增长函数模型选择的方法： (1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型. (2)增长速度越来越快，即