4.4.3不同函数增长的差异（教学设计）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.4.3 不同函数增长的差异 授课 班级 高一年级 授课 时间 课型 新授课 教 学 目 标 1.了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异. 2、经过探究对函数的图像观察，理解对数增长、直线上升、指数爆炸。 学科素养 1. 数学抽象：函数增长快慢的认识； 2. 逻辑推理：由特殊到一般的推理； 3. 数学运算：运用指数和对数运算分析问题； 4.直观想象：指数、对数函数的图像； 5.数学建模：运用函数增长差异解决实际问题； 学情 分析 学生已经掌握一次函数、指数函数及对数函数的图象和性质，并能观察出图象特征：“直线上升”、“曲线上升”、“平缓”、“陡”.在此基础上引导学生由具体到一般观察总结这三类函数的增长差异. 重点 难点 1.重点：通过观察图象，归纳出不同函数增长的差异； 2.难点：对“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”的理解. 教学 策略 问题导向 自主学习 合作学习 教具 准备 多媒体课件 教 学 过 程 集体共案 二次备课（ ） 1． 课题引入 指数函数与对数函数互为反函数.它们的图象关于对称. 如图：我们可以观察到在区间上指数函数值都大于0，图象高于的图象，此时对数函数没有意义.而在区间上它们都是增函数，但增长方式存在很大差异.如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.今天我们就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异. 2． 问题探究 问题1：观察和的图象，描述它们在上的增长差异. 结论： 1.从图象的相对位置来看： （1）它们有两个交点，令，得，所以交点坐标为； （2）在区间上，的图象高于的图象，说明； （3）在区间上，的图象高于的图象，说明； （4）在区间上，的图象高于的图象，说明； 2.从增长方式来看： 的图象直线上升，说明增长速度不变； 的图象曲线上升，且先平缓，然后越来越陡，说明增长速度先慢后快. 总结： 两者对比：的增长速度不变，的增长速度先慢后快.在一定范围内，的增长速度高于，但随着的增大，的增长速度会越来越快，并且远远大于的增长速度. 问题2：由特殊到一般，我们观察指数函数与一次函数的增长差异是否与上述情况类似. 观看视频：发现与的交点情况可能有两个、一个或没有交点.若没有交点，则的图象都高于的图象；若有一个交点，则除交点外的图象都高于的图象；若有两个交点，则在后一个交点之后，恒有. 结论： 增长方式：一次函数的增长速度不变，的增长先慢后快，最终的增长会远远超过.即总会存在一个，当时，恒有. 问题3：观察和的图象，描述它们在上的增长差异. 类比问题1可得结论： 对数函数的图象先陡后平缓，说明增长速度先快后慢，当时，恒有；在一定范围内，的增长速度高于，但随着的增大，的增长速度会越来越慢，并且远远慢于的增长速度. 问题4：由特殊到一般，我们观察对数函数与一次函数的增长差异是否与上述情况类似. 观察视频得： 增长方式：一次函数的增长速度不变，的增长先快后慢，趋于平缓.最终的增长会远远慢于.即总会存在一个，当时，恒有. 总结： 一次函数：增长速度不变,直线上升； 指数函数：增长先慢后快，指数爆炸； 对数函数：增长先快后慢，趋于平缓. 3． 典例剖析 1.三个变量，，随自变量的变化情况如下表： 其中呈对数函数型变化的变量是     ，呈指数函数型变化的变量是    ，呈幂函数型变化的变量是     ． 2.下列函数中，随的增大，最后增长速度最快的是(    ) A. B. C. D. 3.已知，则下列命题中正确的是(    ) A. ，，有成立 B. ，，有成立 C. ，，有成立 D. ，，有成立 4.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则与下落时间分的函数关系表示的图象只可能是(    ) A. B. C. D. 4． 归纳小结与反思 增长方式： 一次函数：增长速度不变, 直线上升； 指数函数：增长先慢后快，指数爆炸； 对数函数：增长先快后慢，趋于平缓. 板 书 设 计 1. 指数函数、对数函数、一次函数的增长差异. 二.直线上升、指数爆炸、对数增长 作业 布置 课本：P139 1-2-3-4 课 后 反 思 本节课注重教学策略的研究，无论是从激活学生已有知识体系引导其建立知识联系，还 是从特殊到一般、从具体到抽象地探索解决问题的途径，亦或对学生化归引