4.5.1函数的零点与方程的解 教学设计——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一数学《精品教学案》 专心听讲，勤于思考。 《精品教学案》 及时复习，认真完成。 章节 4.5.1 课题 函数的零点与方程的解 教 学 目 标 1.结合指数函数和对数函数的图象，进一步了解函数的零点与方程解的关系； 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 教学重点 求函数的零点、判断零点个数、判断零点所在的区间 教学难点 二次函数的零点分布问题 【新知探究】 一、函数的零点 1.函数零点的定义：对于一般函数y＝f (x)，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2.函数的零点、方程的解与函数图象之间的关系： 函数y＝f (x)有零点⇔方程f (x)＝0有实根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴（即直线y＝0）有交点． 函数y＝f (x)的零点，就是方程f (x)＝0的实根，也是函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标． 拓展：若f (x)＝g(x)—h (x)是超越函数（含幂指对三角等的非初等函数），则 函数y＝g(x)—h(x)有零点 方程g(x)＝h(x)有实根 函数y＝g(x)的图象与函数y＝h(x)的图象有交点． 二、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． （1） 零点存在定理是单向的不可逆的．f (a)f(b)＜0是闭区间[a，b]上连续函数f(x)在区间(a，b)内存在零点的充分不必要条件． （2）在闭区间[a，b]上连续的函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定能推出f(a)·f(b)<0.如图所示，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0. （3）在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)单调，且f (a)·f (b)<0时，则f(x)在区间(a，b)上有唯一零点． 三、解决二次函数零点分布问题的方法与步骤 二次函数零点分布，也叫一元二次方程根的分布，是指当方程 的两根呈某种分布时，如当 时，函数的参数a、 b、 c具有什么特征的问题． 事实上，这种问题最自然的想法是，用求根公式把的值求出来，然后代入题目条件解不等式或不等式组，如当 时，有不等式组： 然而，求解这种无理不等式是很麻烦的。实际解题中，我们往往结合函数的单调性将问题转化，大大降低计算量，从而化解无理不等式难解的困境，通常有以下两种方法： （1）几何法是结合二次函数的图象从开口方向、判别式情况、对称轴位置、端点函数值与零的关系四个方面列充要条件（即不等式组），是通法，适用于所有情况． （2）代数法是从开口方向、判别式情况、两根之和、两根之积四个方面列充要条件，建议仅在两个零点均大于0，均小于0，一个大于一个小于0三种情况下使用，其他情况技巧性很强，不提倡使用． 【典型例题】 例1.判断下列函数零点的个数： (1) f(x)＝； (2) f (x)＝ln x＋x2－3. 针对练习：函数f(x)＝ln x－的零点的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 例2.已知函数f (x)＝－2a有两个零点，求实数a的取值范围. 针对练习：已知函数f(x)＝其中k≥0. 若关于x的函数y＝f (f (x))有两个不同零点，则实数k的取值范围是________． 高一数学《精品教学案》 班级 ，姓名 。 领先一步，领先一路。 《精品教学案》 集思广益，共同进步。 例3.已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，分别求出下列条件成立的情况下，实数a的取值范围： (1)两个零点均小于0； (2)两个零点均大于1； (3)一个零点大于1，一个零点小于1； (4)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内． 【达标检测】 A组 1.函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　 ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C. D. 2.若函数y＝＋m有零点，则实数m的取