2.2换底公式（分层练习，二大题型）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

2.2.《换底公式》 分层练习 考查题型一 利用对数的换底公式化简求值 1.计算下列各式的值 (1)；(2)． 2．已知，，请用a，b表示下列各数的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 3．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 4．已知，，则（    ） A． B． C．4 D．5 5．已知一种放射性元素最初的质量是500g，按每年10%衰减，则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（    ）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1） A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年 6．若，且，则实数的值为 . 考查题型二 利用对数的换底公式证明 1．若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 2．已知，求证：. 3．设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)；(2)． 4．已知，求证：． 1．设，则 ． 2．已知，则 ． （多选题）3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.《换底公式》 分层练习 考查题型一 利用对数的换底公式化简求值 1.计算下列各式的值 (1)；(2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】根据换底公式和对数的运算性质计算即可. 【详解】（1）； （2） . 2．已知，，请用a，b表示下列各数的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】根据对数运算公式和换底公式计算. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） 3．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】B 【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 4．已知，，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用指数式和对数式的关系可得a的值，再根据换底公式可得. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A 5．已知一种放射性元素最初的质量是500g，按每年10%衰减，则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（    ）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1） A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年 【答案】D 【分析】按每年10%衰减，得出每年剩余90%，列出方程，根据对数运算得出结果. 【详解】最初的质量是500g，经过一年后，质量变为， 经过2年后，质量变为，经过t年后，质量变为， 令，则，则，. 则这种元素的半衰期年. 故选：D. 6．若，且，则实数的值为 . 【答案】36 【分析】利用指数式与对数式转化表示出，，的值，然后利用对数运算求出值. 【详解】，，，， 则 ，，即. 故答案为：36 考查题型二 利用对数的换底公式证明 1．若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立. 【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，， 而，则， 所以，即 . 故选A. 2．已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【解析】对用换底公式，换成以5为底的对数即可证明. 【详解】证明：，， 即. 3．设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)；(2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】利用换底公式，即可证明. 【详解】（1），所以等式成立； （2），所以等式成立. 4．已知，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】根据对数的定义和运算性质分析证明. 【详解】设，可知且，则， 可得， 所以，即. 1．设，则 ． 【答案】1 【分析】利用对数的定义，结合对数换底公式及对数运算性质计算即得. 【详解】由，得，则，由，得， 所以. 故答案为：