24.2 第3课时 圆的切线的性质和判定课件2023-2024学年人教版数学九年级上册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第3课时 圆的切线的性质和判定 学习目标 1．掌握圆的切线的性质定理和判定定理. 2．能判断一条直线是否为圆的切线. 3．会过圆上一点画圆的切线. 温故知新 1.圆的切线的定义 如果一条直线和圆只有一个公共点，那么这条直线就叫做圆的切线. 2.直线和圆的位置关系有哪几种？ 相交、相切、相离. 直线和圆相切 d=r 下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上 打磨工件时飞出的火星中，存在与圆相切的现象吗？ 圆心O到直线l的距离是_________. 直线l是⊙O的 ＿＿＿ . 新课导入 在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA, 则圆心O到直线 l 的距离是多少？直线 l和⊙O有 什么位置关系？ ⊙O的半径 切线 O A l 切线的判定定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 定理的几何语言： ∵ l 经过⊙O上的A点，且l⊥OA. ∴直线l是⊙O的切线． O A l 作法： ①连接OA; ②过点A作直线l与OA垂直. 直线l 就是所求作的切线. 1.已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图） O A 巩固练习 ２.如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA，∠OBA＝45°.求证：AB是⊙O的切线． 证明：∵AB＝AO, ∠OBA＝45°, ∴∠AOB=45°, ∴∠OAB=90°,即OA⊥AB, ∵直线AB经过⊙O 上的点A, ∴AB是⊙O的切线. O A B 判定一条直线是否是已知圆的切线的方法 方法1：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. 方法2：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. 方法3：切线的判定定理. (d=r) A.直线经过半径的外端； B.直线垂直于半径. 如图，⊙O的半径为r，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ 为什么？ O A l 解：OA⊥l , 理由如下： 假设OA与直线l不垂直， 则OA不是点O到直线l 的垂线段. 问题探究 过点O作OM⊥l于点M， OM的长为点O到直线l的距离d， 根据垂线段最短的性质， 有OM＜OA，即d＜r. ∴OA⊥l . 直线l与⊙O相交, 与已知矛盾， 故假设不成立， O A l M 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 定理的几何语言： ∵直线l是⊙O的切线， 点A为切点. ∴l⊥OA． O A l 例1:如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线. 分析：要证 AC是⊙O的切线， 只要证明由点O向AC所作的 垂线段OE是＿＿＿＿＿＿＿ 就可以了.而OD是⊙O的半径， 则要证OE=OD. ⊙O的半径 O B C A D 证明：过点O作OE⊥AC， 垂足为E,连接OD,OA. ∵AB与⊙O相切于点D， ∴ .（ ） 又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点. ∴ .（ ） ∴ .（ ） 即OE是⊙O的半径. ∴AC经过⊙O的半径OE的外端E，OE⊥AC. ∴AC是⊙O的切线( )． OD⊥AB AO是∠BAC的平分线 三线合一 OE=OD 角平分线性质 切线的判定定理 O B C A D E 切线的性质定理 例2：已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D, 以O为圆心，OD为半径作⊙O. 求证：⊙O与AC相切. O A B C E D 证明：过O作OE⊥AC于E. ∵AO平分∠BAC，OD⊥AB， ∴OE＝OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线. 1.证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种方法： (1)当直线与圆有公共点时，简说成 “连半径，证垂直”； (2)当直线与圆没有公共点时，简说成 “作垂直，证半径”. 归纳 2.已知圆的切线时，“连半径，得垂直”. 随堂练习 1.判断下列说法是否正确. （1）与圆有公共点的直线是圆的切线 （ ） （2）与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 （ ） （3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线 （ ） （4）过圆的半径外端的直线是圆的切线 （ ） （5）过圆的半径外端并且与这条半径垂直的直线是 圆的切线 （ ） × × × √ √ 2.如图，CA切⊙O于点A， 该