专题17 对数运算（4知识点+4题型）-【专题突破】2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第一册）

专题17：对数运算（4知识点+4题型） 对数运算 常考题型 换底公式 对数运算性质 对数与指数的关系 对数的基本概念 题型一：指数的概念及解方程 题型二：对数的运算及运算性质应用 题型三：换底公式的应用 题型四：对数运算的实际应用 知识点一：对数的基本概念 （1）对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 log10N记为lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.718 28… logeN记为ln N 知识点二：对数与指数的关系 （1）对数与指数的关系 ①若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. ②对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． （2）对数的性质 ①loga1＝0 (a>0，且a≠1)． (2)logaa＝1 (a>0，且a≠1)． ③零和负数没有对数． 知识点三：对数运算性质 （1）如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). ④loganM＝logaM(n∈R) ⑤logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 知识点四：换底公式 （1）对数换底公式：logab＝=(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). (a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). （2）特别地：（1）logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 题型一：指数的概念及解方程 解题思路：（1）对数logaN满足：(a>0，且a≠1)且N>0 （2）解方程：①若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x.②对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．①loga1＝0 (a>0，且a≠1)．logaa＝1 (a>0，且a≠1)．利用公式化为同底来解。 例1．在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 例2．（多选）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 例3．求下列各式中的的值： (1)； (2). 例4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式训练 5．若，则x的值为 ． 6．若，则 . 7．在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 题型二：对数的运算及运算性质应用 解题思路：①若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. ②对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． （2）对数的性质 ①loga1＝0 (a>0，且a≠1)． (2)logaa＝1 (a>0，且a≠1)． （1）如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). ④loganM＝logaM(n∈R) ⑤logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 例1．已知，则（    ） A． B．2 C． D． 例2．已知，则（    ） A． B． C． D． 例3．计算： (1)； (2)． 例4．计算： . 变式训练 5．若，是方程的两个根，则 ． 6．（    ） A．6 B．8 C．9 D．7 7．设，，则（    ） A． B． C． D． 8． 9．（多选）已知，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（1）计算；（2）计算. 题型三：换底公式的应用 解题思路：（1）对数换底公式：logab＝=(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). (a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). （2）特别地：（1）logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 例1．若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 例2． ． 例3．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．