第17章 专项2勾股定理与最短路径问题 专项3勾股定理中的数学思想方法-【勤径学升】2023-2024学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（人教版2012）

平面图形上的最短路径问题　　 如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，E，P分别是线段AC，AD上的一个动点，已知AB＝2，AD＝，则PE＋PC的最小值是________. (恩施州中考)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为(　　) A．5　 　 　B．6　 　 　C．7　 　 　D．8 台阶中的最短路径问题　　 如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬(　　) A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm 圆柱表面的最短路径问题　　 如图，有一个长、宽各为2 dm，高为3 dm且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为(　　) A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm 长方体(或正方体)表面的最短路径问题　 如图，有一个棱长为9 cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到点C(点C在一条棱上，距离顶点B 3 cm处)，则这只蜜蜂需爬行的最短路程是________ cm. 如图，长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm. (1)在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则路程最短的是多少？ (2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？ 分类讨论思想在勾股定理中的应用　　 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP2的值为________. 已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，求BC的长． 方程思想在勾股定理中的应用　　 (洛阳伊滨区期中)如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD，则CD的长为(　　) A．1　　　B．　　　C．　　　D． (云南昆明八中月考)把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E，F两点均在BD上)，折痕分别为BH，DG.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则线段FG的长为________. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，点D为AC上的一点，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB上的点E处，求AD的长． 转化思想在勾股定理中应用　　 如图是一块长、宽、高分别是6 cm，4 cm，3 cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是(　　) A．(3＋2) cm B． cm C． cm D． cm (杭州文晖实验学校期中)如图，直线l上有三个正方形A，B，C.若正方形A，C的面积分别为4和3，则正方形B的面积为(　　) A．6 B．7 C．10 D．25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项2　勾股定理与最短路径问题 1.　[解析]如答图，过点B作BE⊥AC于点E，与AD交于点P，此时PE＋PC的值最小．∵△ABC是等边三角形，且D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE＋PC＝PB＋PE＝BE，即BE的长就是PE＋PC的最小值．∵△ABC是一个边长为2的等边三角形，∴CE＝1，∴在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE＝＝，∴PE＋PC的最小值是. 　　　 2．B　[解析]如答图，连接ED交AC于点F′，连接BF′. ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于AC对称．∴BF′＝DF′. ∴△BF′E的周长＝BF′＋EF′＋BE＝DE＋BE，此时△BEF的周长最小． 由勾股定理，得DE＝5，则△BF′E的周长＝DE＋BE＝5＋1＝6. 3．C　4.B 5．15　[解析]如答图，AC的长即为这只蜜蜂需爬行的最短路程．由题意，得CD＝9 cm，AD＝3＋9＝12(cm)，∴AC＝＝＝15(cm). 6．解：(1)将长方体的前侧面和右侧面展开在同一平面，连接CD，如答图①，沿DC爬行路程最短． ∵长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm， ∴AD＝DE＋AE＝20 cm，AC＝AB＝15 cm. 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得CD＝＝＝25(cm). 故最短路程是25cm. (2)如答图②，连接AG，BG. 在Rt△BFG中，GF＝12 cm，BF＝8 cm， 由勾股定理，得GB＝＝