第五章 专题课2 数列求和-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

专题课 2　 数列求和 1. 数列{an}中, an = 1 n(n+1) , 若{an}的前 n 项和为 2 015 2 016 , 则项数 n 为 (　 　 ) A. 2 014 B. 2 015 C. 2 016 D. 2 017 2. 数列{1+2n-1}的前 n 项和为 (　 　 ) A. 1+2n B. 2+2n C. n+2n-1 D. n+2+2n 3. 若数列{ an } 的通项公式是 an = ( - 1) n ( 3n - 2), 则 a1 + a2 +…+a10 = (　 　 ) A. 15 B. 12 C. -12 D. -15 4. Sn = 1 2 + 1 2 + 3 8 +…+ n 2n = (　 　 ) A. 2 n-n 2n B. 2 n+1 -n-2 2n C. 2 n-n+1 2n+1 D. 2 n+1 -n+2 2n 5. 求 sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值. 51 6. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn = 3n2 -7n. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求数列 4 anan+1{ }的前 n 项和 Tn . 61 ∴ an+1 = 4n, 可得 bn = log4an+1 =n, cn = 4n -1 +n, ∴ Tn = c1 +c2 +…+cn = (40 +1) +(41 +2) +…+(4n-1 +n) = (40 +41 +…+4n-1 ) +(1+2+…+n) = 4 n-1 3 +n(n+1) 2 . 变式训练 2　 D　 【解析】 由题意得, a2 = 2, a3 = 1, a4 = 2, …, 故奇数项为 1, 偶数项为 2, 则 S2 023 = (a1 +a2 ) +(a3 +a4 ) +…+(a2 021 +a2 022 ) +a2 023 = 3×1 011+1 = 3 034. 故选 D. 变式训练 3　 5　 【解析】 ∵ f(x)= 2 4x+1 +tanx, 故 f(0)= 2 40 +1 +tan0 = 1, ∴ f(x) +f( -x)= 2 4x+1 +tanx+ 2 4-x+1 +tan( -x) = 2 4x+1 + 2·4x 4x+1 = 2, ∴ f( -2) +f(2)= f( -1) +f(1) = 2, ∴ f( -2) +f( -1) +f(0) +f(1) +f(2)= 5. 变式训练 4　 解: (1) 设数列{an}的公比为 q, 由 a23 = 9a2a6 得 a23 = 9a24 , ∴ q2 = 1 9 . 由条件可知 q>0, 故 q = 1 3 . 由 2a1 + 3a2 = 1 得 2a1 +3a1q= 1, ∴ a1 = 1 3 , 故数列{an}的通项公式为 an = 1 3n . (2) bn = log3a1 + log3a2 + … + log3an = - ( 1 + 2 + … + n) = -n(n+1) 2 . 故 1 bn = - 2 n(n+1) = -2 1 n - 1 n+1( ) , ∴ 1 b1 + 1 b2 +…+ 1 bn =-2 1- 1 2( ) + 1 2 - 1 3( ) +…+ 1 n - 1 n+1( )[ ] = - 2n n+1 , ∴ 数列 1 bn{ } 的前 n 项和 Tn = - 2n n+1 . 变式训练 5　 解: (1) 设等比数列{an}的公比为 q, 由题意 得 a2 +a3 +a4 = 28, 2a3 +4 =a2 +a4 , { ∴ a3 = 8, a2 +a4 = 20. ∴ a1q2 = 8, a1q+a1q3 = 20, { 解 得 a1 = 2, q= 2{ 或 a1 = 32, q= 1 2 . { ∵ 数列{an}是递增的等比数列, ∴ a1 = 2, q= 2,{ 从而 an = 2 n, 即数列{an}的通项公式为 an = 2n (n∈N∗ ) . (2) ∵ bn = log2an+1 = log22n +1 = n+ 1, ∴ anbn = ( n+ 1) 2n, 则 Sn = 2·21 +3·22 +4·23 +…+n·2n -1 +(n+1)·2n, 可得 2Sn = 2·22 +3·23 +4·24 +…+n·2n+(n+1)·2n+1 , 两式相减可得-Sn = 4+ 22 + 23 +…+ 2n -(n+ 1) ·2n +1 = 4+ 4(1-2n-1 ) 1-2 -(n+1)·2n+1 = -n·2n+1 , ∴ Sn =n·2n +1 . 1. B　 【解析】 ∵ an = 1