6.3 利用导数解决实际问题-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

6. 3　 利用导数解决实际问题 1. 某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数: y1 = 17x2(x>0), 生产成本 y2(万元)是产量 x(千台)的函数: y2 = 2x3 -x2(x>0), 为使利润最大, 应生产　 　 　 　 千台. 第 2 题图 2. 将周长为 4 的矩形 ABCD 绕 AB 旋转一周所 得圆柱体积最大时, AB 长为 (　 　 ) A. 4 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 3. 用长为 30 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架 (即 12 条棱长总和为 30 cm), 要求长方体的长与宽之比为 3 ∶ 2, 则该长方体最大体积是 (　 　 ) A. 24 B. 15 C. 12 D. 6 第 4 题图 4. 某校为弘扬中华传统中医药文 化, 在一块边长为 30 m 的正方 形空地中开辟出如图所示的总面 积为 750 m2 的矩形中药园. 图 中阴影部分是宽度为 1 m 的小 路, 中间三个矩形区域将种植益母草、 板蓝根、 苦参 (其中两个小矩形区域形状、 大小相同) . 中药种植的总 73 面积为 S m2 . 当 S 取得最大值时, x 的值为 (　 　 ) A. 15 m B. 20 m C. 25 m D. 30 m 5. 要设计一个容积为 V 的有盖圆柱形储油罐, 已知侧面积 的单位面积造价是底面积造价的一半, 而储油罐盖的单 位面积造价又是侧面积造价的一半, 问储油罐的半径 r 和 高 h 之比为何值时造价最省. 83 参 考 答 案　 因此 1 2 e x1 +ln(2x2 )= 2, ∴ e x1+ln(2x2)-2=e x1+ln(2x2)- 1 2 e x1+ln(2x2)[ ] = 12 e x1>0, 即 e x1 +ln(2x2 ) >2, 故④正确. 13. 解: (1) 由题意得 f ′(x)= -3x2 -2x+1, 则 f ′( -2)= -12+4+1 = -7, 又∵ f( -2)= 8-4-2+2 = 4, ∴ f(x)在 x= -2 处的切线方程 为 y-4 = -7(x+2), 即 7x+y+10 = 0. (2) 令 f ′(x)= -3x2 -2x+1 = 0, 解得 x= -1 或 x= 1 3 , 则 x, f ′(x), f(x)变化情况如下表: x ( -∞ , -1) -1 -1, 1 3( ) 1 3 1 3 , +∞( ) f ′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴ f(x)的极小值点为 x= -1, 极大值点为 x= 1 3 . (3) 由 ( 2) 知, f(x) 在 [ - 5, - 1) 上单调递减, 在 ( -1, 0] 上单调递增. 又 f( -5)= 125-25-5+2 = 97, f(0)= 2, f( -1)= 1-1-1+2 = 1, ∴ f(x) min = f( -1)= 1, f(x) max = f( -5)= 97. 14. 解: (1) 由已知定义域为(0, +∞ ), f ′(x)= x- a+1 x = x 2 -(a+1) x . 当 a+ 1≤0, 即 a≤-1 时, f ′(x) > 0 恒成立, 则 f(x) 在 (0, +∞ )上单调递增; 当 a+1> 0, 即 a> -1 时, x = - a+1 (舍) 或 x = a+1 , ∴ f(x)在(0, a+1 )上单调递减, 在( a+1 , +∞ )上单调 递增. ∴ a≤ -1 时, f(x) 在( 0, +∞ ) 上单调递增; a> -1 时, f(x)在( 0, a+1 ) 上单调递减, 在 ( a+1 , +∞ ) 上单调 递增. (2) 由 (1) 可知, 当 a≤-1 时, f(x)在(1, +∞ )上单 调递增, 若 f(x) ≥0 对任意的 x∈ [1, +∞ ) 恒成立, 只需 f(1)≥0, 而 f(1)= 0 恒成立, ∴ a≤-1 成立; 当 a>-1 时, 若 a+1 ≤1, 即-1<a≤0, 则 f(x) 在( 1, +∞ )上单调递增, 又 f(1)= 0, ∴ -1<a≤0 成立; 若 a>0, 则 f(x)在(1, a+1 )上单调递减, 在( a+1 , +∞ )上单调递增, 又 f(1)= 0, ∴ ∃x0 ∈(1, a+1 ), f(x0 ) <f(1)= 0, 不满足 f(x)≥0 对任意的 x∈ [1, +∞ )恒成立. ∴ 综上所述, a≤0. 6. 3　利用导数解决实际问题 变式训练 1　 4　 【解析】 根据题意, ∠EPA = α 0<α< π 2( ) , PE⊥