6.2.1 导数与函数的单调性-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

6. 2　 利用导数研究函数的性质 6. 2. 1　 导数与函数的单调性 1. 函数 f(x)= xlnx+1 的单调递减区间是 (　 　 ) A. -∞ , 1 e( ) B. 1 e , +∞( ) C. 0, 1 e( ) D. (e, +∞ ) 2. 已知函数 f(x)= e x x -ax, x∈(0, +∞ ), 当 0<x1 <x2 时, 不 等式 x1 f(x1) <x2 f(x2)恒成立, 则实数 a 的取值范围为 (　 　 ) A. -∞ , e 2( ) B. -∞ , e 2( ù û ú ú C. ( -∞ , e) D. ( -∞ , e] 3. 设 f ′(x) 是奇函数 f( x) 的导函数, f(1) = 0, 当 x> 0 时 xf ′(x) >2f(x), 则使得 f(x) <0 成立的 x 的取值范围是 (　 　 ) A. ( -1, 0)∪(0, 1) B. ( -∞ , -1)∪(0, 1) C. ( -1, 0) ∪ (1, +∞ ) D. ( -∞ , -1)∪(1, +∞ ) 13 4. 已知函数 f(x)= x5 +10x+sinx, 若 f( t) +f(1-3t) <0, 则实 数 t 的取值范围是　 　 　 　 . 5. 已知函数 f(x)= 1 2 ax2 -(a+1)x+lnx(a∈R) . (1) 若 a= 0, 求曲线 f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2) 讨论函数 f(x)的单调区间. 23 解得 d= 2, a1 = 5 2 . (2) 由 an+1 +an = 4n+3(n∈N∗ ), 得 an+2 +an+1 = 4n+7, 两 式相减, 得 an+2 -an = 4, 故数列{a2n-1 }是首项为 a1 , 公差为 4 的等差数列. 数列{a2n}是首项为 a2 , 公差为 4 的等差数列. 由 a2 +a1 = 7, a1 = 2, 得 a2 = 5, ∴ an = 2n, n 为奇数, 2n+1, n 为偶数.{ ①当 n 为奇数时, an = 2n, an+1 = 2n+3. Sn = (a1 +a2 ) +(a3 +a4 ) +…+(an-2 +an-1 ) +an = 7 + 15 + … + ( 4n - 5 ) + 2n = n-1 2 ×(4n-5+7) 2 + 2n = 2n2 +3n-1 2 . ②当 n 为偶数时, Sn = a1 +a2 +a3 +…+an = (a1 +a2 ) +(a3 + a4 ) +…+(an-1 +an)= 7+15+…+(4n-1)= 2n2 +3n 2 . 6. 2　利用导数研究函数的性质 6. 2. 1　导数与函数的单调性 变式训练 1 　 D　 【解析】 由 f ′(x) 的图象可知, x< - 1 时, f ′(x) <0, 可得函数 f(x) 是减函数; - 1 <x< 1 时, f ′(x) > 0, 可得函数 f(x)是增函数; x> 1 时, f ′(x) < 0, 可得函数 f(x) 是减函数; 由导函数图象可知, x→+∞ 时, f ′(x) →0, 说明 x→+∞ 时, 函数 f(x)的切线斜率趋向于 0, 由此可以判断函 数 f(x)的图象为 D. 故选 D. 变式训练 2　 解: (1) ∵ f ′(x)= 3ax2 +2bx+c, ∴ f ′(0)= c= 6. (2) f ′(x) = 3ax2 + 2bx + 6, 由表格知 f ′(1)= 8, f ′(3)= 0,{ 解得 a= - 2 3 , b= 2. { (3) 由 (2) 可得 f ′(x)= -2x2 +4x+6 = -2(x-3)(x+1), 由 f ′(x) <0 可得, x∈( -∞ , -1)∪(3, +∞ ), 由 f ′(x) >0 可得, x∈( -1, 3), ∴ f(x)的单调增区间为 ( -1, 3), 单调减区间为( -∞ , -1)和(3, +∞ ) . 变式训练 3　 解: (1) f ′(x) = 2ax+ 1 x +(2a+1), 当 a = 1 时, f ′(x)= 2x+ 1 x +3, ∴ f ′(1)= 6, f(1)= 4, 函数 y= f(x)的图象 在点(1, 4)处的切线方程为 y-4 = 6(x-1), 即 6x-y-2 = 0. (2) f(x)的定义域为(0, +∞ ), f ′(x) = 2ax+ 1 x +( 2a+ 1)= 2ax 2 +(2a+1)x+1 x = (2ax+1)(x+1) x . 当 a≥0 时, f ′(x) >0 在(0, +∞ )恒成立, f(x)的递增区 间是(0, +∞ ); 当 a<0 时, f