6.1.4 求导法则及其应用-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

6. 1. 4　 求导法则及其应用 第 1 课时　 导数的四则运算法则 1. 函数 f(x)= lnx +2 x 在 x= 1 处的切线方程为　 　 　 　 . 2. 已知函数 f(x)= asinx+b 的导函数为 f ′(x), 若 f ′ π 3( ) = 1, 则 a= (　 　 ) A. 4 B. 2 C. 1 D. 1 2 3. 函数 f(x)= (x+2a)(x-a) 2 的导数为 (　 　 ) A. 2(x2 -a2) B. 2(x2 +a2) C. 3(x2 -a2) D. 3(x2 +a2) 4. 若曲线 y = ax2 在 x = a 处的切线与直线 2x-y-1 = 0 平行, 则 a= (　 　 ) A. -1 B. 1 C. -1 或 1 D. - 1 2 或 1 5. 已知函数 f( x) = x4 +ax2 -bx, 且 f ′(0) = - 13, f ′( - 1) = -27, 则 a+b= 　 　 　 　 . 72 6. 求下列函数的导数. (1) f(x)= (1+sinx)(1-4x); (2) f(x)= x x+1 -2x . 82 6. 1. 4　 求导法则及其应用 第 2 课时　 简单复合函数求导法则及其应用 1. 已知 f(x)= sin2x+e2x, 则 f ′(x)= (　 　 ) A. 2cos2x+2e2x B. cos2x+e2x C. 2sin2x+2e2x D. sin2x+e2x 2. 已知 f(x)= ln(2x+1) -ax, 且 f ′(2)= -1, 则 a= (　 　 ) A. 7 5 B. 6 5 C. - 3 5 D. - 4 5 3. 已知 f(x)= ln(3x-1), 则 f ′(1)= 　 　 　 　 . 4. 已知 y= 1 2 sin2x+sinx, 那么 y′是 (　 　 ) A. 仅有最小值的奇函数 B. 既有最大值, 又有最小值的偶函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 非奇非偶函数 5. 求函数 y= sinnx·cosnx 的导数. 92 6. 求正弦型曲线 y= sin 2x+ π 2( ) 在点 π 4 , 0( ) 处的切线方程. 03 参 考 答 案　 为 1 e , 1( ) , 代入 y= lnx+m 得, 1 = ln 1 e +m, ∴ m= 2. 13. 2x+y= 0　 【解析】 ∵ 函数 f(x)为偶函数, 设 x<0, 则-x>0, ∴ f( -x)= ln( -x) +1+e-x-1 , 则 f(x)= f( -x)= ln( -x) +1+e-x-1 , ∴ f ′(x) = 1 x -e-x-1 , ∴ f( -1) = 1+e1-1 = 2, f ′( -1) = -1-e1-1 = - 2, ∴ y = f(x) 在 x = - 1 处的切线方程为 y- 2 = -2(x+1), 即 2x+y= 0. 14. (1) 解: f ′(x)= 1+2ax+ b x . 由已知条件得 f(1)= 0, f ′(1)= 2,{ 即 1+a= 0, 1+2a+b= 2,{ 解得 a= -1, b= 3. (2) 证明: f(x)的定义域为(0, +∞ ), 由 (1) 知 f(x) = x-x2 +3lnx. 设 g(x)= f(x) -(2x-2)= 2-x-x2 +3lnx, 则 g′(x)= -1-2x+ 3 x = -(x-1)(2x+3) x . 当 0<x<1 时, g′(x) >0; 当 x>1 时, g′(x) <0. ∴ g(x)在(0, 1)单调增加, 在(1, +∞ )单调减少. 而 g(1)= 0, 故当 x>0 时, g(x)≤0, 即 f(x)≤2x-2. 15. 解: (1) 设 Pk-1(xk-1 , 0), 由 y′= ex 得, Qk-1(xk-1 , e xk-1 )点处切线方程为 y-e xk-1 = e xk-1(x-xk-1 ), 由 y= 0 得, xk = xk-1 -1(2≤k≤n) . (2) x1 = 0, xk-xk-1 = -1, 得 xk = -( k-1), ∴ PkQk = e xk = e-(k-1) , 于是 Sn = P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 + … + PnQn = 1+e -1 +e-2 +…+e-(n-1) = 1 -e-n 1-e-1 = e-e 1-n e-1 . 6. 1. 4　求导法则及其应用 第 1课时　导数的四则运算法则 变式训练 1　 A　 【解析】 f(x) = x-g( x), 可得 f ′( x) = 1 - g′(x), f(2)= 2-g(2)= -3, f ′(2)