6.1.3 基本初等函数的导数-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

6. 1. 3　 基本初等函数的导数 1. (多选题)以下运算正确的是 (　 　 ) A. 1 x( ) ′= 1 x2 B. (cosx) ′= -sinx C. (2x) ′= 2x ln2 D. (lgx) ′= - 1 xln10 2. 若 f(x)= sinx, f ′(α)= 1 2 , 则下列 α 的值中满足条件的是 (　 　 ) A. π 3 B. π 6 C. 2 3 π D. 5 6 π 3. 若函数 f(x)= cosx, 则 f ′ π 4( ) +f π 4( ) 的值为 (　 　 ) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 4. 曲线 y = lnx 在点 M( e, 1)处的切线的斜率是 　 　 　 　 , 切线方程为　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 52 5. 已知 P( -1, 1), Q(2, 4)是曲线 y= x2 上的两点. 求: (1)过点 P, Q 的曲线 y= x2 的切线方程; (2)与直线 PQ 平行的曲线 y= x2 的切线方程. 62 参 考 答 案　 g′(x)= a-sinx, C2 在 x = π 2 处的切线的斜率 k2 = g′ π 2( ) = a- 1. 依题意有 a-1 = -3, 即 a= -2. (2) 曲线 C1 上任意一点处的切线的斜率 k1 = f ′(x)= -ex -2, 则与 l1 垂直的直线的斜率为 1 ex+2 ∈ 0, 1 2( ) , 而过 C2 上一点处的切线的斜率 k2 = g′(x) = a-sinx∈ [a- 1, a+ 1], 依题意必有 a-1≤0, a+1≥ 1 2 , { 解得- 12 ≤a≤1. 13. 解: (1) 当 a= 1 时, f ′(x)= 1+ 1 x (x>0), ∴ f(1)= 1, f ′(1)= 2, ∴ 曲线 y = f(x)在 x = 1 处的切线方程为 y-1 = 2(x-1), 即 2x-y-1 = 0. (2) f ′(x)= 1+ a x (x>0), 若曲线 y= f(x)在 x = 2 处的切 线方程为 y= 2x+b, ∴ 1+ a 2 = 2, 2×2+b= 2+aln2, { ∴ a= 2,b= 2ln2-2.{ 14. 解: (1) 若 b= c, 则 f(x)= (x-a) (x-b) 2 , ∴ f ′(x) = (x-b) 2 +(x-a)·2(x-b), 则 f ′(b)= (b-b) 2 +(x-a) ·2(b- b)= 0, 即曲线 y= f(x)在点(b, f(b))处的切线斜率为 0, 又 f(b)= (b-a)(b-b) 2 = 0, ∴ 所求切线方程为 y= 0. (2) 由 f(x)= (x-a)(x-b)(x-c)得 f ′(x)= (x-b)(x-c) + (x-a) [(x-b)(x-c)] ′= (x-b)(x-c) +(x-a)(x-c) +(x-a)(x -b), ∴ f ′(a)= (a-b) (a-c), f ′(b)= (b-a) (b-c), f ′( c) = (c-a)(c-b) . 因此 1 f ′(a) + 1 f ′(b) + 1 f ′(c) = 1 (a-b)(a-c) + 1 (b-a)(b-c) + 1 (c-a)(c-b) = 1 a-b · 1 a-c - 1 b-c( ) + 1 (c-a)(c-b) = 1 a-b · b-a (a-c)(b-c) + 1 (a-c)(b-c) = - 1 (a-c)(b-c) + 1 (a-c)(b-c) = 0. 6. 1. 3　基本初等函数的导数 变式训练 1　 解: f ′(x)= lim Δx→0 f(x+Δx) -f(x) Δx = lim Δx→0 3x2 Δx+3xΔx2 +Δx3 Δx = lim Δx→0 3x2 +3xΔx+Δx2 = 3x2 . 变式训练 2　 (1) 􀳫　 (2) ×　 (3) ×　 (4) × 变式训练 3　 解: ∵ y′= ex, ∴ y′ x= 2 = e2 , ∴ 曲线 y = ex 在点 (2, e2 )处的切线方程为 y-e2 = e2(x-2) . 即 y= e2(x-1) . 1. BC　 【解析】 1 x( ) ′= - 1 x2 , ∴ A 不正确; ∵ ( cosx) ′ = -sinx, ∴ B 正确; ∵ (2x ) ′ = 2x ln2, ∴ C 正确; ∵ ( lgx) ′ = 1 xln10 , ∴ D 不正确. 故选 BC. 2. A　 【解析】 ∵ f(x) = sinx, ∴ f ′ ( x) = cosx. 又 ∵ f ′(α) = cosα = 1 2 ,