6.1.2 导数及其几何意义-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

6. 1. 2　 导数及其几何意义 1. 已知函数 f(x)= x3 在点(1, f(1))处的切线与直线 ax-y+ 1 = 0 垂直, 则 a 的值为 (　 　 ) A. -3 B. - 1 3 C. 3 D. 1 3 2. 若 lim Δx→0 f(x0 +mΔx) -f(x0) Δx = 1 (m 为常数), 则 f ′(x0)= (　 　 ) A. -m B. 1 C. m D. 1 m 3. (多选题)下列说法正确的是 (　 　 ) A. 曲线的切线和曲线可能有两个交点 B. 过曲线上的一点作曲线的切线, 这点一定是切点 C. 若 f ′(x0)不存在, 则曲线 y = f(x)在点(x0, f(x0 ))处 无切线 D. y=f(x)在点(x0, f(x0))处有切线, 但 f ′(x0)不一定存在 第 4 题图 4. 已知函数 f(x)在 R 上可导, 其部分 图象如图所示, 设 f(2) -f(1) 2-1 = a, 则下列不等式正确的是 (　 　 ) A. f ′(1) <f ′(2) <a B. f ′(1) <a<f ′(2) 32 C. f ′(2) <f ′(1) <a D. a<f ′(1) <f ′(2) 5. 已知曲线 y= f(x)= x , y = g(x)= 1 x , 它们的交点坐标为 　 　 　 　 , 过两曲线的交点作两条曲线的切线, 则曲线 f(x)在交点处的切线方程为　 　 　 　 . 42 变式训练 4 答图 变式训练 4 　 B 　 【解析】 f(3) - f(2) = f(3)-f(2) 3-2 . 由图可知, f ′(3) <f(3) -f(2) 3-2 <f ′(2), 即 f ′(3) <f(3) -f(2) <f ′(2) . 变式 训 练 5 　 解: y′ = lim Δx→0 Δy Δx = lim Δx→0 (x+Δx) 2 -x2 Δx = 2x. 设所求切线的切点为 A( x0 , y0 ) . ∵ 点 A 在曲线 y= x2 上, ∴ y0 = x20 . 又∵ A 是切点, ∴ 过点 A 的切线 的斜率 k= 2x0 . ∵ 所求的切线过点(3, 5)和 A(x0 , y0 )两点, ∴ 其斜率又为 y0 -5 x0 -3 = x20 -5 x0 -3 , ∴ 2x0 = x20 -5 x0 -3 , 解得 x0 = 1 或 x0 = 5. 从而切点 A 的坐标为(1, 1)或(5, 25) . 当切点为(1, 1)时, 切线的斜率 k1 = 2x0 = 2; 当切点为(5, 25)时, 切线的斜率 k2 = 2x0 = 10. ∴ 所求的切线有两条, 方程分别为 y-1 = 2( x-1) 和 y-25 = 10(x-5), 即 2x-y-1 = 0 和 10x-y-25 = 0. 1. B　 【解析】 由导数的定义知函数 f(x) = x3 在点(1, f(1))处的切线斜率为 lim Δx→0 f(1+Δx) -f(1) Δx = 3. 由切线与直线 ax-y+1 = 0 垂直, 可得 a= - 1 3 . 故选 B. 2. D 　 【解析 】 由 题 意, 根 据 导 数 的 概 念 可 得, lim Δx→0 f(x0 +mΔx) -f(x0 ) Δx =m· lim Δx→0 f(x0 +mΔx) -f(x0 ) mΔx = mf ′( x0 ) = 1, ∴ f ′(x0 )= 1 m . 故选 D. 3. AD　 【解析】 曲线的切线和曲线除有一个公共切点 外, 还可能有其他公共点, 故 A 正确, B 不正确; f ′(x0 )不存 在, 曲线 y= f(x)在点(x0, f(x0 ))处的切线斜率不存在, 但切 线可能存在, 为 x=x0, 故 C 不正确, D 正确. 故选 AD. 4. B　 【解析】 ∵ [1, 2] 函数的增长越来越快, ∴ 函 数在该点的斜率越来越大, 又 f(2) -f(1) 2-1 = a, ∴ f ′( 1) <a< f ′(2) . 故选 B. 5. (1, 1)　 x-2y+1 = 0　 【解析】 由 y= x , y= 1 x ì î í ïï ï 得 x= 1, y= 1,{ ∴ 两曲线的交点坐标为(1, 1) . 由 f(x) = x , 得 f ′(x) = lim Δx→0 1+Δx -1 Δx = lim Δx→0 1 1+Δx +1 = 1 2 , ∴ y = f(x)在点(1, 1) 处的切线方程为 y-1 = 1 2 (x-1), 即 x-2y+1 = 0. 效果评价 1. B 【 解 析 】 设 M ( x0 , f ( x0 )), ∴ f ′ ( x0 ) = l