5.5 数学归纳法-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

5. 5　 数学归纳法 1. 用数学归纳法证明 n3 >3n2 +3n+1 这一不等式时, 应注意 n 必须为 (　 　 ) A. n∈N∗ B. n∈N∗, n≥2 C. n∈N∗, n≥3 D. n∈N∗, n≥4 2. 用数学归纳法证明 1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2n-1 <n (n∈N∗, n>1) 时, 第一步应验证不等式 (　 　 ) A. 1+ 1 2 <2 B. 1+ 1 2 + 1 3 <2 C. 1+ 1 2 + 1 3 <3 D. 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 <3 3. 用数学归纳法证明 1+ 2+ 3+…+n2 = n 4 +n2 2 , 则当 n = k+ 1 时, 左端应在 n= k 的基础上加上 (　 　 ) A. k2 +1 B. (k+1) 2 C. (k2 +1) +(k2 +2) +…+(k+1) 2 D. (k +1) 4 +(k+1) 2 2 91 4. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a1 = 1, Sn = n2an(n∈ N∗) . 依次计算出 S1, S2, S3, S4 后, 可猜想 Sn 的表达 式为　 　 　 　 . 5. 已知函数 y= f(n)(n∈N+), 设 f(1)= 2, 且任意的 n1, n2 ∈N+, 有 f(n1 +n2)= f(n1)·f(n2) . (1)求 f(2), f(3), f(4)的值; (2)试猜想 f(n)的解析式, 并用数学归纳法给出证明. 02 11 830-10 800 = 1 030 (元) . 故选 C. 12. ABC　 【解析】 设第 (n+ 1) 分钟之内新感染的文 件数为 an+1 , 前 n 分钟内新感染的病毒文件数之和为 Sn, 则 an+1 = 2(Sn+1), 且 a1 = 2. 由 an+1 = 2(Sn +1)可得 an = 2(Sn-1 + 1), 两式相减得 an+1 -an = 2an, ∴ an+1 = 3an, ∴ 每分钟内新感 染的病毒构成以 a1 = 2 为首项, 3 为公比的等比数列, ∴ an = 2×3n-1 , 在第 3 分钟内, 该计算机新感染了 a3 = 2×33 -1 = 18 个 文件, 故 A 正确; 经过 5 分钟, 该计算机共有 1+a1 +a2 +a3 + a4 +a5 = 1+ 2× 1-35( ) 1-3 = 35 = 243 个病毒文件, 故 B 正确; 10 分 钟后, 计算机感染病毒的总数为 1 + a1 + a2 + … + a10 = 1 + 2×(1-310 ) 1-3 = 310 > 1 2 × 105 , ∴ 计算机处于瘫痪状态, 故 C 正 确; 该计算机瘫痪前, 每分钟内新被感染的文件数成公比为 3 的等比数列, 故 D 错误. 故选 ABC. 13. 2×7n 　 【解析】 设 n 个月后共有 an 只老鼠, 且雌雄 各半, ∴ n+ 1 个月后的老鼠只数满足 an+1 = an + 12× an 2 (n∈ N∗ ), ∴ an+1 = 7an(n∈N∗ ) . 又∵ a1 = 14≠0, ∴ an+1 an = 7, ∴ 数列{an}是以 14 为首项, 7 为公比的等比数列, ∴ n 个月后 老鼠的只数 an = 14×7n -1 = 2·7n . 14. 解: (1) 若选择方案一, 设该家庭每月应还款 a 万 元, 则 a+a(1+0. 004) +a(1+0. 004) 2 +…+a(1+0. 004) 17 = 10× (1 + 0. 004 ) 18 , 即 a 1 -1. 00418 1-1. 004( ) = 10 × 1. 004 18 , 解得 a = 0. 04×1. 00418 1. 00418 -1 ≈0. 577(万元) . 若选择方案二, 设该家庭每季度应还款 b 万元, 则有 b+b(1+0. 012) +b(1+0. 012) 2 +…+b(1+0. 012) 5 = 10×(1+ 0. 012) 6 , 即 b 1 -1. 0126 1-1. 012( ) = 10×1. 012 6, 解得 b = 0. 12 ×1. 0126 1. 0126 -1 ≈1. 737(万元) . (2) ∵ 0. 577×3 = 1. 731<1. 737, ∴ 该家庭应选择第一种 方案. 5. 5　数学归纳法 变式训练 1　 C　 【解析】 当 n= k 时, 左边共有 2k+1 个连续 自然数相加, 即 1+2+3+…+(2k+1), ∴ 当 n = k+1 时, 左边 共有 2k+3 个连续自然数相加, 即 1+2+3+…+(2k+1) +(2k+ 2) +(