5.3.2 等比数列的前n项和-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

5. 3. 2　 等比数列的前 n项和 1. 设{an}是公比为 q 的等比数列, Sn 是它的前 n 项和, 若 {Sn}是等差数列, 则 q 等于 (　 　 ) A. 1 B. 0 C. 1 或 0 D. -1 2. 已知等比数列{an}的首项 a1 = 3, 公比 q= 2, 则 S5 等于 (　 　 ) A. 93 B. -93 C. 45 D. -45 3. 已知数列{an}, 若点(n, an)(n∈N∗)都在函数 f(x)= 2x 的图象上, 则数列{an}的前 4 项和 S4 = 　 　 　 　 . 4. 已知等比数列的公比为 2, 且前 5 项和为 1, 那么前 10 项 和等于　 　 　 　 . 5. 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, 若 a1 = 1 3 , a24 = a6, 则 S5 = 　 　 　 　 . 6. 设 Sn 为正项等比数列 {an} 的前 n 项和, 且 4a1 -a3 = 0, 则 S3 a1 = (　 　 ) A. 3 B. 7 C. 7 4 D. 3 或 7 11 7. 已知等比数列{an}满足: a1 +a2 +a3 +a4 = 15 8 , a2 ·a3 = - 9 8 , 则 1 a1 + 1 a2 + 1 a3 + 1 a4 = (　 　 ) A. -2 B. - 5 3 C. 3 5 D. 1 2 8. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 8a2 +a5 = 0, 则下列 式子中数值不能确定的是 (　 　 ) A. a5 a3 B. S5 S3 C. an+1 an D. Sn+1 Sn 9. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 S6 S3 = 9, 则公 比 q= (　 　 ) A. 1 2 B. ± 1 2 C. 2 D. ±2 21 ∴ 1 m + 4 n = 1 6 1 m + 4 n( ) (m+n) = 1 6 5 + n m +4m n( ) ≥ 1 6 5+2 n m · 4m n( ) = 3 2 . 当且仅当 n m = 4m n , 即 m= 2, n= 4 时, 等号成立. 故 1 m + 4 n 的最小值等于 3 2 . 5. 3. 2　等比数列的前 n项和 变式训练 1　 解: (1) S9 = a1(1-q9) 1-q = -4× 1- 1 2( ) 9 [ ] 1- 1 2 = -511 64 . (2) Sk = 1-akq 1-q = 1-243×3 1-3 = 364. 变式训练 2　 解: (1) 由 q= a2 a1 = 2 1 = 2 , ∴ S10 = a1(1-q10 ) 1-q = 1-25 1- 2 = 31( 2 +1), S4 = a1(1-q4 ) 1-q = 1-4 1- 2 = 3( 2 +1), ∴ 第 5 项到第 10 项的和为 S10 -S4 = 28( 2 +1) . (2) 由 S5 = a1 [1-( -2) 5 ] 1-( -2) = 44, 得 a1 = 4, ∴ a2 = a1 ·q = -8. 故选 A. (3) ∵ S2 = 3, S4 = 15, ∴ q≠1, 由 a1(1-q2 ) 1-q = 3, ① a1(1-q4 ) 1-q = 15, ② ì î í ï ï ï ï ② ① 得 q2 = 4. 又 q>0, ∴ q= 2. 故选 A. 变式训练 3　 an = 4· 1 3( ) n-2 　 【解析】 设数列{an }的首项 为 a1 , 公比为 q, 所有奇数项、 偶数项之和分别记作 S奇, S偶 . 由题意可知, S奇 +S偶 = 4S偶, 即 S奇 = 3S偶 . ∵ 数列{an } 的项数为偶数, ∴ q = S偶 S奇 = 1 3 . 又 ∵ a1 · a1q · a1q2 = 64, ∴ a31 ·q3 = 64, 即 a1 = 12, 故所求通项公式为 an = 12 · 1 3( ) n-1 = 4· 1 3( ) n-2 . 变式训练 4　 A　 【解析】 S5 , S10 -S5 , S15 -S10 成等比数列, 即 1, 2, a11 +a12 +a13 +a14 +a15 成等比数列, ∴ a11 +a12 +a13 +a14 +a15 = 4. 1. A　 【解析】 如果一个数列既是等比数列又是等差数 列, 则该数列为常数列. 故选 A. 2. A　 【解析】 S5 = a1(1-q5 ) 1-q = 3×(1-2 5 ) 1-2 = 93. 故选 A. 3. 30　 【解析】 由题设可得 an = 2n, 故 an an-1 = 2, 故{an } 为等比数列, 其首项为 2, 公比为 2, 故 S