5.2.1 等差数列-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

5. 2　 等差数列 5. 2. 1　 等差数列 1. 在等差数列{an}中, 若 a2 = 4, a4 = 2, 则 a8 = (　 　 ) A. -1　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. -2 C. 1　 　 D. 6 2. 已知数列{an}, 对任意的 n∈N∗, 点 Pn(n, an)都在直线 y= 2x+1 上, 则{an}为 (　 　 ) A. 公差为 2 的等差数列 B. 公差为 1 的等差数列 C. 公差为-2 的等差数列 D. 非等差数列 3. 已知 a = 1 3 + 2 , b = 1 3 - 2 , 则 a, b 的等差中项为 　 　 　 　 . 4. 在等差数列{an}中, 若 a4 +a6 +a8 +a10 +a12 = 120, 则 a9 - 1 3 a11 的值为 (　 　 ) A. 14　 B. 15 C. 16　 D. 17 5. 三个数成等差数列, 其和为 9, 前两项之积为后一项的 6 倍, 则这三个数为　 　 　 　 . 5 6. 对于一个给定的数列, 从第二项开始, 每一项减去前一 项得出第二个数列, 又将第二个数列从第二项开始, 每 一项减去前一项得出第三个数列, 这样一直做下去, 假 如减了 P (P≥2, P∈N) 次之后, 得到了一个非零常数 列, 那么我们就称第一个数列为 P 阶等差数列, 即为高 阶等差数列. 南宋数学家杨辉在 《详解九章算术》 和 《算法通变本末》 中研究了高阶等差数列, 对这类高阶等 差数列的研究, 在杨辉之后一般称为 “垛积术” . 现有高 阶等差数列, 其前 7 项分别为 1, 5, 11, 21, 37, 61, 95, 则该数列的第 8 项为 (　 　 ) A. 99　 　 　 　 B. 131　 　 　 　 C. 139　 　 　 　 D. 141 6 参 考 答 案　 ∴ 当 0<n≤3 时, an+1 -an>0, 当 n≥4 时, an+1 -an<0. 因此, 当 0<n≤3 时, 数列{an }单调递增, 当 n≥4 时, 数列{an}单调递减. ∵ a3 = 3 2 , a4 = 3 2 , 故当 n= 3 或 n= 4 时, 数列{an}取最 大值, 且最大值为 3 2 . 对任意 λ> 0, 所有的正整数 n 都有 λ2 -kλ+ 2>an 成立, 可得 λ2 -kλ+2> 3 2 . 因此, kλ<λ2 + 1 2 , 即 k<λ+ 1 2λ 对任意 λ> 0 恒成立. 由 λ+ 1 2λ ≥2 λ· 1 2λ = 2 , 当且仅当 λ = 1 2λ , 即 λ = 2 2 时取最小值, 则 k< λ+ 1 2λ( ) min = 2 , ∴ 实数 k 的取值范围是 ( -∞ , 2 ) . 5. 2　等差数列 5. 2. 1　等差数列 变式训练 1　 (1) 证明: 由题设可得 an n - an+1 n+1 +1 = 0, 即 an+1 n+1 - an n = 1, ∴ 数列 an n{ } 是以 1 为首项, 1 为公差的 等差数列. (2) 解: 由 (1) 可得, 数列 an n{ } 的通项公式为 an n = 1+ (n-1) ×1 =n, ∴ an =n2(n∈N+ ) . 变式训练 2　 解: (1) 设等差数列的首项为 a1 , 公差为 d, 由 a1 = 2, a2 = 5, 得 d=a2 -a1 = 5-2 = 3, 得 a120 = 2+(120-1) × 3 = 359. (2) 由 a1 = -5, d= -9-( -5)= -4, 得这个数列的通项公 式为 an = -5+(n-1) ×( -4)= -4n-1. 由题意, 令-401 = -4n- 1, 得 n= 100, 即-401 是这个数列的第 100 项. 变式训练 3　 (1) BC　 【解析】 ∵ a, b, c 成等差数列, ∴ 2b=a+c, ∴ Δ= 4b2 -4ac= (a+c) 2 -4ac= (a-c) 2 ≥0, ∴ 二次函 数 y=ax2 -2bx+c 的图象与 x 轴的交点个数为 1 或 2. (2) 解: ∵ (a2 +a5 +a8 ) -(a1 +a4 +a7 )= 3d, (a3 +a6 +a9 ) - (a2 +a5 +a8)= 3d, ∴ a1 +a4 +a7, a2 +a5 +a8, a3 +a6 +a9 成等差数 列, ∴ a3 +a6 +a9 = 2(a2 +a5 +a8)-(a1 +a4 +a7)= 2×33-39= 27. 1. B　 【解析】 设{an}的公差为 d, 根据题意知 a4 =a2 + (4-2)d, 易知 d= -1, ∴ a8 =a4 +(8-