5.1.2 数列中的递推-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

5. 1. 2　 数列中的递推 1. 分别写出数列{an}的一个递推关系: (1) 1, -3, -7, -11, -15, …; (2)2, 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , …; (3)1, 6, 14, 25, 39, …; (4)2, 5, 14, 41, 122, …. 2. 人们在研究植物的生长过程中发现, 某一种树苗的生长 规律为: 树苗在第一年长出一条新枝, 新枝一年后成长 为老枝, 老枝以后每年都长出一条新枝, 每一条树枝都 按照这个规律生长, 则第 7 年的枝条数可以达到 (　 　 ) A. 64　 　 　 　 B. 34　 　 　 　 C. 21　 　 　 　 D. 13 3. 已知数列{an}满足 a1 = 2, an+1 = an-1 an+1 , 则 a2 021 = (　 　 ) A. 2 B. 1 3 C. - 1 2 D. -3 3 4. 已知数列{ an } 满足 a1 = 1, an+1 = an+3, an 为奇数, 2an+1, an 为偶数, { 则 a6 = (　 　 ) A. 16 B. 25 C. 28 D. 33 5. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn . (1) 当 Sn =n2 -1 时, 求数列{an}的通项公式; (2) 当 Sn = 3n +1 -3 时, 求数列的通项公式. 4 参 考 答 案　 1) +2] = [n2 -(n-1) 2 ] - [3n-3(n-1)] +(2-2)= 2n-1-3 = 2n-4. ∵ a1 = 0 不满足 an = 2n-4, ∴ an = 0, n= 1, 2n-4, n≥2.{ 变式训练 8　 5, n= 1, 2n+1 , n≥2{ 　 【解析】 当 n= 1 时, a1 = S1 = 2 3 - 3 = 5; 当 n≥2 时, an =Sn-Sn-1 = (2n +2 -3) -(2n+1 -3)= 2n+1 . ∵ a1 = 5 不满足上式, ∴ an = 5, n= 1, 2n+1 , n≥2.{ 变式训练 9　 解: ∵ 6Sn =a2n+3an, ① 当 n= 1 时, 6a1 =a1(a1 +3), ∵ a1 ≠0, ∴ a1 = 3. 当 n≥2 时, 6Sn-1 =a2n-1 +3an-1 . ② ∴ ①-②, 得 6Sn - 6Sn-1 = a2n + 3an -a2n-1 - 3an-1 , 整理可得 (an+an-1 )(an-an-1 -3)= 0. ∵ an+an-1 ≠0, ∴ an-an-1 = 3(n≥2), ∴ a1 = 3, a2 -a1 = 3, a3 -a2 = 3, …, an-an-1 = 3. 将以上各式等号两边分别相加得 an = 3n(n≥2), 又∵ a1 = 3 也符合上式, ∴ an = 3n(n∈N+ ), ∴ {an}的通项公式为 an = 3n. 变式训练 10　 3　 3, n= 1, 4·3n-1 , n≥2{ 　 【解析】 a1 +2a2 +3a3 +… +nan = (2n-1)·3n, ①　 令 n= 1, 得 a1 = 3. 当 n≥2 时, a1 + 2a2 +3a3 +…+(n-1)an-1 = (2n-3)·3n -1 . ② ①-②, 得 nan = 4n·3n -1 , 即 an = 4·3n -1 . ∵ a1 = 3 不满 足上式, ∴ an = 3, n= 1, 4·3n-1 , n≥2.{ 1. 解: (1) 观察发现每一项与其前一项之差为-4, 故 递推关系式为 an-an-1 = -4. (2) 观察发现每一项与其前一项之比为 1 2 , 故递推关系 式为 an an-1 = 1 2 . (3) a2 -a1 = 5, a3 -a2 = 8, a4 -a3 = 11, a5 -a4 = 14, …, 由此可知, 后一项与其前一项的差构成一个数列 5, 8, 11, 14, …, 故递推关系式为 an-an-1 = 3n+2. (4) a2 -a1 = 3, a3 -a2 = 9, a4 -a3 = 27, a5 -a4 = 81, …, 由此可知, 后一项与其前一项的差构成一个数列 3, 9, 27, 81, …, 故递推关系式为 an-an-1 = 3n -1 . 2. D　 【解析】 每年的树枝数由老枝和新枝组成. 设第 n 年树枝数为 an, 并且 a1 = 1, a2 = 1, 从 n = 3 开始, 其树枝 条数有 an = an-1 +an-2 , 每年的树枝数为 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 故第 7 年共有 13 条树枝. 故选 D. 3. A　 【解析】 ∵