5.5 数学归纳法-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步练习（人教B版）

5. 5　 数学归纳法 1. 用数学归纳法证明 “凸 n 边形的内 角和等于(n-2)π” 时, 证明第一步中 n0 的 取值应为 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 用数学归纳法证明 1+a+a2 +…+an+1 = 1-a n+2 1-a (a≠1, n∈N∗), 在验证 n= 1 成立 时, 左边计算所得的项是 (　 　 ) A. 1 B. 1+a C. 1+a+a2 D. 1+a+a2 +a3 3. 用数学归纳法证明 “当 n 为正奇数 时, xn+yn 能被 x+y 整除” 时, 第二步归纳 假设应写成 (　 　 ) A. 假设当 n = 2k+ 1( k∈N∗ ) 时成立, 再推出当 n= 2k+3 时成立 B. 假设当 n = 2k- 1 ( k∈N∗ ) 时成立, 再推出当 n= 2k+1 时成立 C. 假设当 n = k(k∈N∗ )时成立, 再推 出当 n= k+1 时成立 D. 假设当 n= k(k≥1)时成立, 再推出 当 n= k+2 时成立 4. 用数学归纳法证明 “1- 1 2 + 1 3 - 1 4 +… + 1 2n-1 - 1 2n = 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 2n (n∈N∗)”, 由 n= k(k∈N∗ )的假设证明 n = k+ 1 时, 如果 从等式左边证明右边, 则必须证得右边为 (　 　 ) A. 1 k+1 +…+ 1 2k + 1 2k+1 B. 1 k+1 +…+ 1 2k + 1 2k+1 + 1 2k+2 C. 1 k+2 +…+ 1 2k + 1 2k+1 D. 1 k+2 +…+ 1 2k+1 + 1 2k+2 5. 观察下列式子: 1+ 1 22 < 3 2 , 1+ 1 22 + 1 32 < 5 3 , 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 < 7 4 , …, 则可归纳出 1+ 1 22 + 1 32 +…+ 1 (n+1) 2 小于 (　 　 ) A. n n+1 B. 2n -1 n+1 C. 2n +1 n+1 D. 2n n+1 6. 设 f(x)是定义在正整数集上的函数, 且 f(x)满足: “当 f(k)≥k2 成立时, 总可推 出 f(k+1) ≥( k+1) 2 成立”, 那么下列命题 总成立的是 (　 　 ) A. 若 f(3)≥9 成立, 则当 k≥1 时, 均 有 f(k)≥k2 成立 B. 若 f(5) ≥25 成立, 则当 k≥4 时, 均有 f(k)≥k2 成立 C. 若 f(7) <49 成立, 则当 k≥8 时, 均 有 f(k) <k2 成立 D. 若 f(4) = 25 成立, 则当 k≥4 时, 均有 f(k)≥k2 成立 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 7. 设 f( n) = 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 3n-1 ( n∈ N∗), 则 f(n+1) -f(n)= (　 　 ) A. 1 3n+2 B. 1 3n + 1 3n+1 C. 1 3n+1 + 1 3n+2 D. 1 3n + 1 3n+1 + 1 3n+2 8. 已知 1+2×3+3×32 +4×33 +…+n×3n-1 = 3n(na-b) +c 对一切 n∈N∗都成立, 那么 a, b, c 的值为 (　 　 ) A. a= 1 2 , b= c= 1 4 B. a= b= c= 1 4 C. a= 0, b= c= 1 4 D. 不存在这样的 a, b, c 9. 对于不等式 n2 +n <n+ 1( n∈N∗ ), 某学生的证明过程如下: ①当 n = 1 时, 12 +1 < 1 + 1, 不等式 成立. ②假设 n = k(k∈N∗ )时, 不等式成立, 即 k2 +k <k+1, 则 n= k+1 时, (k+1) 2 +(k+1) = k2 +3k+2 < (k2 +3k+2) +(k+2) = (k+2) 2 = (k+1) +1, ∴ 当 n = k+ 1 时, 不等式成立, 上述证 法 (　 　 ) A. 过程全都正确 B. n= 1 验证不正确 C. 归纳假设不正确 D. 从 n=