6.1.4 求导法则及其应用-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步练习（人教B版）

6. 1. 4　求导法则及其应用 第1课时　导数的四则运算法则 1. 已知 f 1 x( ) = x 1+x , 则 f ′(1)= (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 2 B. - 1 2 C. - 1 4 D. 1 4 2. 若双曲线x 2 a2 -y 2 b2 = 1(a>0, b>0)的一 条渐近线与函数 f(x)= ln(x+1)的图象相切, 则该双曲线的离心率为 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 3. 若 f(x)= 2xf ′(2) +x2, 则 f ′(1)= (　 　 ) A. -4　 B. -6　 C. 2 D. 4 4. 已知函数 f( x) = 2 2 020x+1 +sinx, 其 中 f ′(x)为函数 f(x)的导数, 则 f(2 020) + f(-2 020)+f ′(2 021)-f ′(-2 021)= (　 　 ) A. 0　 B. 2　 C. 2 020 D. 2 021 5. (多选题)下列运算中正确的是 (　 　 ) A. (ax2 +bx+c) ′= 2ax+b B. (sinx-2x2) ′= cosx-4x C. sinx x2( ) ′= x2cosx+2xsinx (x2) 2 = xcosx+2sinx x3 D. (cosx·sinx) ′= -sin2x+cos2x 6. 已知曲线 y= x4 +ax2 +1 在点( -1, a+ 2)处切线的斜率为 8, 则 a= 　 　 　 　 . 7. 已 知 函 数 f ( x ) = sinx - cosx 且 f ′( x) = 2 f( x) , f ′( x) 是 f( x) 的导函数, 则 1 +sin2 x cos2 x-sin2x = 　 　 　 　 . 8. 已知函数 f(x) = 1 2 x2 -alnx. 若函数 f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线不过第 四象限且不过原点, 则实数 a 的取值范围 为　 　 　 　 . 9. 已知二次函数 y= f(x)的图象经过坐 标原点, 其导函数为 f ′( x) = 6x- 2, 数列 {an}的前 n 项和为 Sn, 点(n, Sn)(n∈N∗) 均在函数 y= f(x)的图象上. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设 bn = 3 anan+1 , Tn 是数列{bn}的前 n 项和, 求使得 Tn < m 20 对所有 n∈N∗都成立 的最小正整数 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 10. (1) 求曲线 y= 2x x2 +1 在点(1, 1)处 的切线方程; (2) 运动曲线方程为 S = t -1 t2 +2t2, 求 t = 3 时的速度. 11. 若曲线 y= ln(x+a)的一条切线为 y = ex-b(e 为自然对数的底数), 其中 a, b 为 正实数, 则 1 ea + 1 b 的取值范围是 (　 　 ) A. [2, e) B. (e, 4] C. [2, +∞ ) D. [e, +∞ ) 12. 已知二次函数 f(x)= ax2 +bx+1 的导 函数为 f ′(x), f ′(0) >0, f(x)与 x 轴恰有一 个交点, 则 f(1) f ′(0) 的最小值为 (　 　 ) A. 2 B. 3 2 C. 3 D. 5 2 13. 偶函数 f(x)在( -∞ , +∞ )内可导, 且 lim x→0 f(1) -f(1-x) 2x = -1, f(x+2)= f(x-2), 则 y = f(x)在点( -5, f( -5))处切线的斜率 为 (　 　 ) A. -2　 B. 2　 C. 1　 D. -1 14. 曲线 y = xn+1 (n∈N∗ ) 在点( 1, 1) 处的切线方程为　 　 　 　 , 其与 x 轴的交点 的横坐标为 xn, 则 x1 · x2 · x3 · … · xn = 　 　 　 　 . 15. 点 P 为曲线 y = 2x2 + ln ( 4x + 1 ) x>- 1 4( ) 图象上的一个动点, α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则当 α 取最小值时 x 的 值为