5.2三角函数的概念8题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第一册）

5.2三角函数的概念8题型分类 一、三角函数的概念 (1)任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦函数 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y＝sinα 余弦函数 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα 正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即＝tanα(x≠0)，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数 三角函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 注：三角函数的定义 (1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应． (2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围． (3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． (2)三角函数的定义域 三角函数 定义域 y＝sinx x∈R y＝cosx x∈R y＝tanx x≠＋kπ(k∈Z) 二、三角函数值的符号 规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 三、诱导公式(一) 名称 符号语言 文字语言 诱导公式(一) sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z) cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z) tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z) 终边相同的角的同一三角函数的值相等 注：公式一的理解 (1)公式一的实质：终边相同的角的同一三角函数的值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为α. 四、同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tanα 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 (1)同角三角函数的基本关系式的变形形式及常用结论 ①平方关系变形及常用结论 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα. ②商的变形 sinα＝tanαcosα，cosα＝. (2)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1. (3)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2. (4)约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义的情况下的恒等式． (5)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝不成立． (6)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定的． （一） 三角函数的定义及应用 1、任意角的三角函数的定义 如图，在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，那么： （1）比值叫做的正弦，记作，即； （2）比值叫做的余弦，记作，即； （3）比值叫做的正切，记作，即． 对于确定的值，比值，，分别是唯一一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数． 2、利用三角函数的定义求值的策略 已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． (2)注意角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝. 提醒：角α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集． 题型1：三角函数的定义及应用 1-1．（23·24上·眉山·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 1-2．（23·24·全国·专题练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则（  ） A． B． C． D． 1-3．【多选】（23·24上·眉山·期中）已知角的终边经过点，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 1-4．（23·24上·九龙坡·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若是角终边上一点，且，则 ． 1-5．（23·24上·