5.2.1 等差数列-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

5. 2　 等差数列 5. 2. 1　等差数列 1. 理解等差数列的概念, 并能利用等 差数列的定义判断或证明一个数列是否为等 差数列. 2. 掌握等差数列的通项公式和等差中 项的概念. 3. 掌握等差数列的性质, 并能在具体 问题中正确应用. 4. 了解等差数列与一次函数的关系. 　 要点 1　 等差数列的概念相关问题 等差数列的定义: 一般地, 如果数列 {an}从第 2 项起, 每一项与它的前一项之差 都等于同一个常数 d, 即 an+1 -an =d 恒成立, 则称{an}为等差数列, 其中 d 称为等差数列 的公差. 例 1　 判断以下数列是否是等差数列. 如果是, 指出公差; 如果不是, 请说明 理由. (1) 7, 13, 19, 25, 31; (2) 2, 4, 7, 11; (3) -1, -3, -5, -7. 解: (1) ∵ 13-7 = 19-13 = 25-19 = 31- 25 = 6, ∴ 是等差数列, 且公差为 6. (2) ∵ 4-2 = 2, 7-4 = 3, ∴ 4-2≠7-4, 不是等差数列. (3) ∵ -3-( -1)= -5-( -3)= -7-( -5) = -2, ∴ 是等差数列, 且公差为-2. 　 　 反思感悟 判断一组数列是否是等差数列的方法 是看它的后一项减前一项是否是同一个 常数. 已知数列{an} 满足 a1 = 1, n∈N+, 若 点 an n , an+1 n+1( ) 在直线 x-y+1 = 0 上: (1) 求证: 数列 an n{ }是等差数列; (2) 求数列{an}的通项公式. 　 要点 2　 等差数列的通项公式 1. 等差数列的通项公式有两个基本量: 首项 a1 和公差 d, 故求通项公式主要是利用 方程思想解 a1, d. 2. 等差数列通项公式的两种形式: (1) an =a1 +(n-1)d; (2) an =am+(n-m)d. 3. 等差数列通项公式的函数形式: an = kn+b(k, b 为常数) . 例 2　 (1) 已知数列{an}为等差数列, a3 = 5 4 , a7 = - 7 4 , 求 a15 的值; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 (2) 已知数列{ an} 的通项公式为 an = 3n-5, 判断这个数列是否是等差数列. 如 果是, 求出公差; 如果不是, 请说明理由. 　 　 分析　 思路一: 通过通项公式 an = a1 + (n-1)d 建立关于 a1, d 的方程, 求出 a1, d 后求出 a15; 思路二: 通过通项公式 an = am+(n-m)d 求出 d, 然后再求出 a15 . 解: (1) 方法一: 由 a3 = 5 4 , a7 = - 7 4 , ì î í ï ï ï ï ïï 得 a1 +2d= 5 4 , a1 +6d= - 7 4 , ì î í ï ï ï ï ïï 解得 a1 = 11 4 , d= - 3 4 , ì î í ï ï ï ï ïï ∴ a15 =a1 +(15-1)d= 11 4 +14× - 3 4( ) = - 31 4 . 方法二: 由 a7 =a3 +(7-3)d, 即- 7 4 = 5 4 +4d, 解得 d= - 3 4 , ∴ a15 =a3+(15-3)d= 5 4 +12× - 3 4( ) = - 31 4 . (2) ∵ an+1 -an = 3(n+1) -5-(3n-5) = 3, ∴ 数列{an}是等差数列, 且公差为 3. 　 　 反思感悟 (1) 应用等差数列的通项公式求 a1 和 d, 运用了方程的思想. 一般地, 可由 am = a, an = b, 求出 a1 和 d, 从而确定通项公 式. 若已知等差数列中的任意两项 am, an, 求通项公式或其他项时, 则运用 am = an + (m-n)d 较为简捷. (2) 数列{an}是等差数列的充要条件 是 an = kn+b, 其中 k, b 是常数. (1 ) 求 等 差 数 列 2, 5, 8, … 的 第 120 项; ( 2) 判断 - 401 是不是等差数列 - 5, -9, -13, …的项. 如果是, 是第几项? 　 要点 3　 等差数