5.1.1 数列的概念-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

第五章　 数　 列 5. 1　 数列基础 5. 1. 1　数列的概念 1. 了解数列的定义及有关概念. 2. 能根据数列的前几项写出数列的一 个通项公式. 3. 能根据数列的通项公式求解或判 断项. 4. 能够根据数列的通项公式判断数列 的增减性, 并能根据增减性求参数的取值范 围和求数列的最大项和最小项. 　 要点 1　 数列的有关概念 1. 数列: 按照一定次序排列的一列数 称为数列. 2. 数列的项: 数列中的每一个数都称 为这个数列的项, 第 1 项称为首项. 3. 数列的项数: 组成数列的数的个数 称为数列的项数. 4. 有穷数列与无穷数列: 一般地, 项 数有限的数列称为有穷数列, 项数无限的数 列称为无穷数列, 有穷数列的最后一项一般 也称为末项. 例 1　 下列说法正确的有　 　 　 　 . ①数列 1, 3, 5, 7, 9 和数列 9, 7, 5, 3, 1 是相同的数列; ②-4, - 2, 0, x, 4, 6 是一个项数为 6 的数列; ③{0, 1, 2, 3, 4, 5}是有穷数列; ④所有正整数构成的数列是无穷数列; ⑤ 数 列 1, 2, 3, 4, …, n 是 无 穷 数列. 　 　 分析　 结合数列的定义以及有穷数列 和无穷数列的定义即可进行判断. 解析: ①数列是按照一定次序排列的一 列数, 因此次序改变时, 数列就改变了, 故 ①中两个数列不是相同的数列, 故①错误; ②∵ 当 x 代表数时是项数为 6 的数列, 当 x 不代表数时便不是数列, 如 x 表示式子 b2 -3 = b, 故②错误; ③∵ {0, 1, 2, 3, 4, 5}是集合, 不是 数列, 故③错误; ④∵ 正整数有无限个, 故所有正整数构 成的数列是无穷数列, 故④正确; ⑤∵ 数列 1, 2, 3, 4, …, n 共有 n 项, 是有穷数列, 故⑤错误. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1 (多选题)下列说法正确的有 (　 　 ) A. 数列的项必须是数 B. 数列的项可以相等 C. 数列中的项与项的序号是相同的 D. 数列 5, 3, 2, 7, 6, 5 的首项为 5, 末项为 5 　 要点 2　 数列的通项公式 1. 数列的通项: 数列的一般形式可以 写成 a1, a2, a3, …, an, …, 其中 an 表示 数列的第 n 项(也称 n 为 an 的序号, 其中 n 为正整数, 即 n∈N+ ), 称为数列的通项. 此时, 一般将整个数列记为{an} . 　 　 思考　 {an}与 an 有什么区别? 2. 数列的通项公式: 一般地, 如果数 列的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用 an = f(n)来表示, 其中 f(n) 是关于 n 的不含其 他未知数的表达式, 则称上述关系式为这个 数列的一个通项公式. 　 　 思考　 数列一定都有通项公式吗? 如 果有, 通项公式唯一吗? 例 2 　 写出以下各数列的一个通项 公式: (1) 1 2 , 3, 11 2 , 8, 21 2 , …; (2) - 3 , 3, -3 3 , 9, …; (3) -1, 0, -1, 0, -1, 0, …; (4) 9, 99, 999, 9 999, …. 　 　 分析　 根据数列的规律得到数列的通 项公式, 即可确定结论, 具体可以考虑一 些常见的数列, 比如差值相同, 比值相同, an(a 为常数), nα(α 为常数), 或是在这 些数列的基础上进行变化得到的. 解: (1) 把其中的整数改写为分母为 2 的分数形式, 则发现分母为 2, 分子每一项 减去前一项之差为 5, ∴ 可以写出该数列的 一个通项公式为 an = 5n-4 2 . (2) 先把根号外的正数移到根号里, 再把每项看成两部分乘积, 可以得到 an = ( -1) n 3n . (3) 方法一: 若按奇偶项来考虑, 可 以写成分段的形式, an = -1, n 为奇数, 0, n 为偶数.{ 方法二: 对于这种奇数项为-1, 偶数项 为 0 的数列, 也可以考虑利用数列( -1) n-1 2 来表示, 写成 an = -1+( -1) n 2 . 方法三: 若考虑项数每差 2, 项相同, 考虑借助三角函数来表示, 可以写成 an = -sin2 nπ 2( ) .