第五章 专题课2 数列求和-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

专题课 2　数列求和 1. 熟练掌握等差数列、 等比数列的求 和公式. 2. 掌握分组求和、 并项求和、 倒序相 加法求和、 裂项相消法求和、 错位相减法求 和的思想方法. 　 要点 1　 分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差 数列或等比数列或可求和的数列组成, 则求 和时可用分组求和法, 分别求和而后相 加减. 例 1　 已知数列{an}的首项 a1 = 3, 通 项 an = 2np+nq(n∈N∗, p, q 为常数), 且 a1, a4, a5 成等差数列. (1) 求 p, q 的值; (2) 求数列{an}前 n 项和 Sn 的公式. 　 　 分析 　 先通过题意求出 an 的通项公 式, 进而得到 p, q 的值, 再根据分组求和 法的思想求出 Sn . 解: (1) 由 a1 = 3, 得 2p+q= 3, 又∵ a4 = 24p+4q, a5 = 25p+ 5q, 且 a1 +a5 = 2a4, 得 3+25p+5q= 25p+8q, 解得 p= 1, q= 1. (2) 由 (1) 知 an = 2n+n, ∴ Sn = (2+22 +…+2n) +(1+2+…+n)= 2n+1 -2+n(n +1) 2 . 已知数列{an}, a1 = 1, an+1 = 4an . 设 bn = log4an+1, cn = an + bn, Tn 是数列 {cn}的前 n 项和, 求 Tn . 　 要点 2　 并项求和法 在一个数列的前 n 项和中, 可两两结合求 解, 则称之为并项求和. 形如 an = ( - 1) n · f(n)类型, 可采用两项合并求解. 例 2 　 若数列{an } 的通项公式是 an = (-1)n+1(4n+1), 则 a11 +a12 +…+a21 = (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 45 B. 65 C. 69 D. -105 　 　 分析　 由题意可得 an+an+1 = ( - 1) n +1(4n+ 1) +( - 1) n+2 · [4(n+1)+1] =(-1) n+1(-4), 从而可得 a11 +a12 +…+a21 = (a11 +a12) + …+(a19 +a20)+a21 . 解析: ∵ an = ( - 1) n +1 ( 4n+ 1), ∴ an + an+1 = ( -1) n +1(4n+ 1) +( - 1) n+2 [4(n+ 1) + 1] = ( - 1) n+1 ( - 4), 则 a11 +a12 + … +a21 = (a11 +a12 ) +…+( a19 +a20 ) +a21 = - 4 × 5 + 85 = 65. 故选 B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27 已知数列{an} 中, a1 = 1, an +an+1 = 3, Sn 为其前 n 项和, 则 S2 023 等于 (　 　 ) A. 3 031　 　 　 　 　 B. 3 032 C. 3 033 D. 3 034 　 要点 3　 倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端 等 “距离” 的两项的和相等且等于同一个 常数, 那么求这个数列的前 n 项和可用倒序 相加法, 如等差数列的前 n 项和公式即是用 此法推导的. 例 3 　 已知函数 f(x) = ln ex e-x , 满足 f e 2 019( ) +f 2e 2 019( ) +…+ f 2 018e 2 019( ) = 1 009 2 (a +b)(a, b 均为正实数), 则 1 a + 4 b 的最小值 为　 　 　 　 . 　 　 分析　 通过题目发现 f(x) + f( e-x) = 2, 然后利用倒序相加法求出 a+b= 4, 将 1 a + 4 b 转化为 1 4 1 a + 4 b( ) (a+b), 展开, 利用基 本不等式即可求得最值. 解析: f(x) +f(e-x) = ln ex e-x +ln e(e -x) e-(e-x) = ln ex e-x ·e(e -x) x é ë ê ê ù û ú ú = lne2