第五章 专题课1 数列的通项公式-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

专题课1　数列的通项公式 1. 熟练掌握等差数列、 等比数列的通 项公式. 2. 掌握由 an 与 Sn 的关系求 an, 由递 推关系求 an 的思想方法. 　 要点 1　 观察法 例 1　 若数列的前 4 项分别为 1 2 , - 1 4 , 1 8 , - 1 16 , 则此数列的通项公式 an = 　 　 　 　 . 解析: 根据符号可发现奇数项为正数, 偶数项为负数, 可用( -1) n+1 表示, 由各项 形式可发现分子都是 1, 分母与项数 n 之间 的关系为 2n, 故 an = ( -1) n +1· 1 2n . 　 　 反思感悟 观察法的解题关键是观察数列的前 n 项中哪些元素是不随项数的变化而变化的, 哪些元素是随项数的变化而变化的, 以及 是怎么变化的. 数列 3, 2, 9 5 , 12 7 , 5 3 , …的一个通项 公式为 (　 　 ) A. 3n 2n+1 　 　 　 　 　 B. 3n 2n-1 C. 3n 2n-3 D. 3n 2n+3 　 要点 2　 公式法 例 2　 设递增等比数列{an}的前 n 项和 为 Sn, 若 S3 = 7, 且 a1 +3, 3a2, a3 +4 为等 差数列, 则 an = 　 　 　 　 . 解析: 由 a1 +a2 +a3 = 7, 6a2 =a1 +a3 +7 { 得 a2 = 2, ∴ a1 +a3 = 5, 即 a2 q +a2q= 5, 解得 q= 2 或 q= 1 2 . ∵ {an}是单调递增的, ∴ q= 2, ∴ an = 2n -1 . 　 　 反思感悟 当已知数列为等差或者等比数列时, 只需利用条件求得基本量(首项 a1 及公差 d 或者公比 q)即可写出通项公式, 解题时务 必要分清是等差数列还是等比数列. 在数列{an}中, a1 = 2, an = 2+a2n-1 (n ≥2), 则 an = 　 　 　 　 . 　 要点 3　 由 an 与 Sn 的关系求 an 例 3　 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn = n2 +2n, 求数列{an}的通项公式. 解: 当 n= 1 时, a1 = 3; 当 n≥2 时, an = Sn -Sn-1 = n2 + 2n-( n- 1) 2 -2(n-1)= 2n+1. 经检验, a1 = 3 符合上式, ∴ an = 2n+1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23 　 　 反思感悟 已知 Sn 与 an 的关系时, 可利用 an = S1, n= 1, Sn-Sn-1, n≥2 { 求解, 通常是通过 an = Sn - Sn-1(n≥2)消去 Sn 或 an 两种途径解决. (1) 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, Sn = 1 3 an+ 2 3 , 求数列{an}的通项公式; (2) 已知数列{an} 满足 a1 + 22a2 + 32a3 +…+n2an = 3n2 +2, 求数列{an}的通项公式. 　 要点 4　 由递推关系求通项公式 由数列的递推公式求通项公式, 通常需 要对递推公式进行转化与化归, 使之转化为 特殊的等差或等比问题再求通项公式, 主要 体现在以下几个方面: (1) 形如 an+1 =an+f(n) . (2) 形如 an+1 =an·f(n) . (3) 形如 an+1 = pan+q(p≠0 且 p≠1) . (4) 形如 an+1 = Aan Ban+C 或 an+1an = Aan+1 + Ban(A, B, C 为常数) . 例 4　 已知 a1 = 2, an+1 -an = 2n+1(n∈ N∗), 则 an = (　 　 ) A. n+1　 　 　 　 　 　 B. 2n+1 C. n2 +1 D. 2n2 +1 解析: ∵ an+1 -an = 2n+1, 则当 n≥2 时, an-an-1 = 2n-1, … a3 -a2 = 5, a2 -a1 = 3, ∴ an-an-1 +…+a3 -a2 +a2 -a1 = 2n-1+…+5+3, 化简得 an-a1 = (n-1)(2n-1+3) 2 =n2 -1. 又∵ a1 = 2, ∴ an =n2 +1