6.3 利用导数解决实际问题-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

6. 3　 利用导数解决实际问题 1. 了解导数在解决利润最大、 效率最 高、 用料最省等实际问题中的作用. 2. 能利用导数求出某些实际问题的最 大值(最小值) . 　 要点 1　 利用导数解决有关函数的最大 　 值、 最小值的实际问题 1. 与几何有关的最值问题(求几何图形 或几何体的面积与体积的最值) . 2. 与物理学有关的最值问题. 　 　 思考　 实际应用问题的解题程序是什 么? 例 1 　 请你设计一个包装盒, 如图, ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片, 切 去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角 形, 再沿虚线折起, 使得 A, B, C, D 四个 点重合于图中的点 P, 正好形成一个正四棱 柱形状的包装盒, E, F 在 AB 上, 是被切去 的一个等腰直角三角形斜边的两个端点, 设 AE=FB= x(cm) . 图 6-3-1 (1) 某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大, 试问 x 应取何值; (2) 某厂商要求包装盒的容积 V(cm3 ) 最大, 试问 x 应取何值; 并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值. 　 　 分析　 正确引入变量, 将面积或体积 表示为变量的函数, 结合实际问题的定义 域, 利用导数求解函数的最值. 列函数关 系式时, 注意实际问题中变量的取值范围, 即函数的定义域. 解: 设包装盒的高为 h cm, 底面边长为 a cm. 由已知得 a= 2 x, h = 60 -2x 2 = 2 ( 30 - x), 0 < x <30. (1) S= 4ah = 8x(30-x) = -8(x-15) 2 +1 800, ∴ 当 x= 15 时, S 取得最大值. (2) V=a2h= 2 2 ( -x3 +30x2), V′= 6 2 x(20-x) . 由 V′= 0, 得 x= 0(舍去)或 x= 20. 当 x∈(0, 20)时, V′>0; 当 x∈(20, 30)时, V′<0. ∴ 当 x= 20 时, V 取得极大值, 也是最 大值. 此时 h a = 1 2 , 即包装盒的高与底面边长 的比值为 1 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 65 图 6-3-2 如图, 在 P 地正西 方向 8 km 的 A 处和正东 方向 1 km 的 B 处各有一 条正北方向的公路 AC 和 BD, 现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F, 为缓解交 通压力, 决定修建两条互相垂直的公路 PE 和 PF, 设∠EPA = α 0<α< π 2( ) , 为了节省建 设成本, 要使得 PE+PF 的值最小, 则当 PE +PF 的值最小时, AE= 　 　 　 　 km. 　 要点 2　 优化问题 生活中经常遇到求利润最大、 用料最 省、 效率最高等问题, 这些问题通常称为优 化问题. 利用导数求优化问题的步骤: (1) 分析实际问题中各量之间的关系, 列出实际问题的数学模型, 写出实际问题中 变量之间的函数关系式 y= f(x); (2 ) 求 函 数 的 导 数 f ′(x), 解 方 程 f ′(x)= 0; (3) 比较函数在区间端点和使 f ′(x) = 0 的点的函数值的大小, 最大(小)者为最大 (小)值. 　 　 反思感悟 (1) 分析实际问题中各量之间的关 系, 列出实际问题的数学模型, 写出实际 问题中变量之间的函数关系 y = f(x), 根据 实际意义确定定义域; (2) 求函数 y = f(x)的导数 f ′(x), 解 方程 f ′(x)= 0 得出定义域内的实根, 确定 极值点; 　 　 (3) 比较函数在区间端点和极值点处 的函数值, 获得所求的最大(小)值; (4) 还原到原实际问题中作答. 例 2　 某市旅游部门开发一种旅游纪念 品, 每件产品的成本是 15 元, 销售价是 20 元, 月平均销售 a 件, 通过改进工艺, 产品 的成本不变, 质量和技术含金量提高, 市场 分析的结果表明, 如果产品的销售价格提高 的百分率为 x(0<x<1), 那么月平均销售量 减少的百分率为 x2 . 记改进工艺后, 旅游部 门销售该纪念品的月平均利润是 y