6.2.2 导数与函数的极值、最值-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

6. 2. 2　导数与函数的极值、最值 第1课时　导数与函数的极值、最值 1. 理解函数的极值、 最值概念. 2. 会运用导数求函数的极值和最值. 　 要点 1　 函数极值点、 极值的概念 一般地, 设函数 y = f(x)的定义域为 D, 设 x0∈D, 如果对于 x0 附近的任意不同于 x0 的 x, 都有 (1) f(x) <f(x0 ), 则称 x0 为 f(x)函数 的一个极大值点, 且 f(x)在 x0 处取极大值; (2) f(x) >f(x0 ), 则称 x0 为 f(x)函数 的一个极小值点, 且 f(x)在 x0 处取极小值. 极大值点与极小值点都称为极值点, 极 大值与极小值都称为极值. 　 　 思考 　 极值和最值有何不同? 你对 “附近” 怎么理解? 例 1 　 作出下列函数的图象, 观察图 象, 指出下列函数的极值和极值点. (1) f(x) = x2; (2) f(x) = x3; (3) f(x)= - x . 　 　 分析　 画出函数图象, 结合极值、 极 值点的定义判断. 解: 画出三个函数图象. 图 1 　 图 2 　 图 3　 　 　 　 　 　 图 6-2-4 结合函数图象和极值定义可知: (1) 极小值点 0, 极小值为 0; (2) 无极值点, 无极值; (3) 极大值点 0, 极大值为 0. (1) 函数 f(x) 的定义域为 R, 其导函 数 f ′(x)的图象如图所示, 则函数 f(x)极值 点的个数为 (　 　 ) 图 1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (2) 函数 f(x) 的定义域为开区间( a, b), 导函数 f ′(x)在(a, b)内的图象如图所 示, 则函数 f(x) 在开区间( a, b) 内, 极大 值点有　 　 　 　 个. 图 2 图 6-2-5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 58 　 　 反思感悟 (1) 极值点 x0 是一个实数; (2) 极大值和极小值之间没有必然的 大小关系; (3) 极值点 x0 是区间内部的点. 　 要点 2　 函数最值的概念 一般地, 设函数 y = f(x)的定义域为 D, 设 x0∈D, 如果对于∀x∈D: (1) f(x)≤f(x0), 则称 x0 为 f(x)函数 的一个最大值点, 且 f(x)在 x0 处取最大值; (2) f(x)≥f(x0), 则称 x0 为 f(x)函数 的一个最小值点, 且 f(x)在 x0 处取最小值. 最大值点与最小值点都称为最值点, 最 大值与最小值都称为最值. 　 　 思考　 最值的定义和极值的定义有何 不同? 例 2　 已知函数 f(x)= x3 -3x. (1) 求函数 f(x) 的极值, 并作出函数 的图象; (2) 求函数 f(x) 在区间 [ - 2, 3] 的 最值. 　 　 分析　 本题函数为连续函数, 可以利 用导数判断函数单调性, 求出极值画出 图象. 解: (1) 由已知, f(x) = x3 -3x, f ′(x) = 3x2 -3, 解方程 3x2 -3 = 0, 可得 x1 = -1, x2 = 1. 解不等式 f ′(x) >0, 可得 x<-1 或 x>1, 此时 f(x)递增; 解不等式 f ′(x) < 0, 可得- 1 <x< 1, 此 时 f(x)递减; 因此, f(x) 在 ( - ∞ , - 1) 上递增, 在 ( -1, 1)上递减, 在(1, +∞ )上递增, 而且 f ′( -1)= f ′(1)= 0. 从而可知, x = - 1 是函数的极大值点, 极大值为 f( -1)= 2; x = 1 是函数的极小值点, 极小值为 f(1)= -2. 函数图象的示意图如图. 图 6-2-6 (2) 由 f ( - 2) = - 2, f(3) = 18 可知, 函数 f(x) 在区间 [ - 2, 3 ] 的最大值为 f(3)= 18, 最小值为 f( -2)= f(1)= -2. 已知函数 f(x) = 1 3 x3 +ax2 - bx( a, b∈ R) . 若 y= f(x)图象上的点 1, -11 3( ) 处的切 线斜率为-4. (1) 求