6.2.1 导数与函数的单调性-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

6. 2　 利用导数研究函数的性质 6. 2. 1　导数与函数的单调性 会运用导数求函数的单调区间、 证明函 数单调性. 　 要点 1　 函数单调性和导数之间的关系 一般地, 从函数导数的几何意义理解函 数的单调性与导数的正负之间的关系; 函数 f(x)的单调性与导函数 f ′(x)正负的关 系定义在区间(a, b)内的函数 y= f(x): f ′(x) f(x) f ′(x)>0 在区间(a, b)单调递增 f ′(x)<0 在区间(a, b)单调递减 　 　 思考　 导数(瞬时变化率)和单调性有 怎样的关系呢? 例 1　 已知函数 f(x)的导函数 y = f ′(x) 的图象如图所示, 则函数 f(x) 的单调递增 区间是　 　 　 　 . 图 6-2-1 　 　 分析　 导数为正, 函数单调递增; 导 数为负, 函数单调递减. 解析: ∵ 导函数 f ′( x) 在 ( - 1, 2) 和 (4, +∞ ) 上的函数值大于 0, ∴ 函数 f(x) 的单调递增区间是( -1, 2)和(4, +∞ ) . 导数 y= f ′(x)的图象如图所示, 则函数 y= f(x)的图象是 (　 　 ) 图 6-2-2 A 　 B C 　 D 　 要点 2　 利用导数求函数的单调性 在已知函数解析式的情况下, 可以利用 导函数的正负确定函数的单调区间. 　 　 思考　 已知函数解析式, 怎样确定导 数的正负呢? 需要如何操作? 例 2 　 ( 1 ) 函数 f(x) = 2x - sinx 在 ( -∞ , +∞ )上是 (　 　 ) A. 增函数　 　 　 　 　 B. 减函数 C. 先增后减 D. 不确定 (2) 求函数 f(x) = 3x2 - 2lnx 的单调 区间. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 (1) 解析: ∵ f(x)= 2x-sinx, ∴ f ′(x)= 2-cosx>0 在( -∞ , +∞ )上恒 成立, ∴ f(x) 在( -∞ , +∞ ) 上是增函数. 故 选 A. (2) 解: f(x) = 3x2 - 2lnx 的定义域为 (0, +∞ ), f ′(x)= 6x- 2 x = 2(3x 2 -1) x = 2( 3 x-1)( 3 x+1) x , 由 x> 0, f ′(x) > 0, 解得 x> 3 3 ; 由 x> 0, f ′(x) <0, 解得 0<x< 3 3 . ∴ 函数 f(x)= 3x2 -2lnx 的单调递增区间 为 3 3 , +∞( ) , 单调递减区间为 0, 33( ) . 已知函数 f(x) = ax3 +bx2 +cx, 其导函数 为 f ′(x)的部分值如下表所示: x -2 0 1 3 8 f ′(x) -10 6 8 0 -90 根据表中数据, 回答下列问题: (1) 实数 c 的值为　 　 　 　 ; (2) 求实数 a, b 的值; (3) 求 f(x)的单调区间. 　 　 反思感悟 利用导数求函数单调区间的一般步骤: (1) 确定函数 f(x)的定义域; (2) 求导函数 f ′(x); (3) 解不等式 f ′(x) > 0 或 f ′(x) < 0, 并写出解集; (4) 根据 (3) 的结果确定函数 f(x) 的单调区间. 　 要点 3　 利用导数求含参函数的单调性 说明: 含参函数在求导后, 要注意零点 之间的大小关系和导函数的符号确定. 　 　 思考　 导数存在参数, 导数零点是否 变号对函数单调性有什么影响吗? 例 3 　 求函数 f(x) = 2lnx - ax 的单调 区间. 解: 函数的定义域为 ( 0, + ∞ ), 且 f ′(x)= 2 x -a. ①当 a≤0 时, f ′(x) > 0 恒成立, f(x) 在(0, +∞ )上单调递增; ②当 a>0 时, 由 f ′(x) = 2 x -a>0, 解得 0<x< 2 a ; 由 f ′(x) <0, 解得 x> 2 a . ∴ f(x) 在 0, 2 a( ) 上 单 调 递 增, 在 2 a , +∞( ) 上单调递减. 综上, 当 a≤0 时, f(x) 的单调递增区 间是 [0, +∞ ), 无单调递减区间; 当 a > 0 时, f(x) 的单调递增